%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ �Έ� �q } % �����̖��O
\Ddate{ 2006/05/19 } % �쐬��
\Dfile{ sec0706.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{7}    % �͔ԍ��������
\setcounter{subsection}{5} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{0}  % 
\setcounter{equation}{91}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{16}
\setcounter{figure}{7}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
% ��������{���������ĉ�����.
\subsection{�K�E�X���ϖ@}

��X�͕��όo�x�ɓƗ��������𕪂��čl���邽�߂�
�ۓ��֐���p�������w�I�ȃA�v���[�`�ɂ���ĉi�N�ۓ��̊T�O����������B
��������蕨���I�ȃA�v���[�`�ŁA
��������^���A�Ȃ����ۓ��֐��@�╽�ϖ@�̌�����^������̂�����B

�ۓ����̎���$m'$�̊O�f��������$m$�̓��f���̋ߓ_�o�x�ɋy�ڂ�
���ύ΍����ʂ��l����B
�ǂ���̕��̂��O���͓������ʏ�ɂ���Ƃ���B
$r, f, a, e, \varpi $�͂��ꂼ��A�^����ꂽ�O�f���ɗގ������ʂ�
���f���̋O�����a�A�^�ߓ_���p�A�������A���S���A�ߓ_�o�x�ł���B

���̖��̈������͓����B
��ڂ̓��O�����W���������Ɛۓ��֐��̓W�J�����g��
�d�v�ȉi�N���𕪗�������@�ł���B
���̕��@�͂��łɈ����Ă���B
������́A�O�f���ɂ��ۓ��̌��ʂ����̎��ʂ��O����ɂ΂�T�������̂�
�����ł���Ɖ��肷����̂ł���B
���̏ꍇ�A���f���̓����O��̕��̂���e�����󂯂Ȃ���^������B
���̃����O�̖��x��$e'\neq 0$�̂Ƃ��s�ψ�ł���B
�����Đۓ��̔��a�����Ɛڐ������̐������v�Z���A
�΍��^���̓x�����ɂ��K�E�X�^�̐ۓ��������ɓ�������B
���ꂪ�K�E�X�@�ł���B
���ꂩ�猩��悤�ɂǂ�������ʂ͓����ł���B

�Œ᎟�̃��O�����W����������
\begin{equation}
 \langle \dot{\varpi } \rangle 
  = \frac{1}{na^2 e}
    \frac{\partial \langle \mathcal{R} \rangle }{\partial e}
\end{equation}
�ł���i��7.16�Q�Ɓj�B$\langle \mathcal{R} \rangle $�̂��镔����
$j=0$��4D0.1��4D0.2�̍��ŗ^������B
�Ԑڍ��͂Ȃ��B
4D0.1�̗��S���ɂ��Ȃ����𖳎�����ƁA
\begin{equation}
 \begin{split}
  \langle \mathcal{R} \rangle 
  = \frac{\mathcal{G}m'}{a'}
    \biggl[ & \frac{1}{8} (e^2 -{e'}^2) 
              \left( 2\alpha D + \alpha ^2 D^2 \right) 
              b_\frac{1}{2} ^{(0)} \\
            & +\frac{1}{4} ee'
              \left( 2-2\alpha D -\alpha ^2 D^2 \right)
              b_\frac{1}{2} ^{(1)} \cos[\varpi ' -\varpi]
    \biggl]
 \end{split}
\end{equation}
�𓾂�B

����������$e \neq 0$�Ƃ���Ǝ�(7.92)�Ɏ�(7.93)������
�P�v���[�̑�3�@�����g����
\begin{equation}
 \begin{split}
  \langle \dot{\varpi} \rangle 
  = +\frac{1}{4} \frac{m'}{m_c} n\alpha ^2
     \biggl[
   & \left( 2D+\alpha D^2 \right) b_\frac{1}{2} ^{(0)} \\
   &+\frac{e'}{e} \frac{1}{\alpha} 
     \left( 2-2\alpha D-\alpha ^2 D^2 \right)
     b_\frac{1}{2} ^{(1)} \cos(\varpi ' =\varpi ) 
     \biggl]
 \end{split}
\end{equation}
�ƂȂ�B
�ۓ����̘f�����ȉ~�O���ŉ^�����Ă����ʓI�ȏꍇ�ł���B
$m_c$�͒��S���̎��ʂł���B

�K�E�X�@�ɂ��������ċO���ɉ����čL����ꂽ�ۓ����ɂ����
�O�f���ɂ��ۓ��̕��ό��ʂ͌v�Z�ł��A
�����Č��肳�ꂽ�|�e���V������͂͋O���^������V�̂ɓK�p�ł���B
�ȉ~�O�����^�����Ă���ۓ����̐����x�́A
�O���ɉ����ē����ԊԊu���ƃ����O��ɂ΂�T���ꂽ���ʂɂ��B
���������ă����O�̖��x�͉��_(apocentre)�ōł������A
�ߓ_�ōł��Ⴂ�B
�P�v���[�̑��@���ɂ��΁A�����x
\begin{equation}
 \rho = \frac{m' r'}{2\pi a' b'}
\end{equation}
�ɓ����ł���B������$ b' = \sqrt{1-e'^2} $�͋O�����Z���ł���B

�ߓ_�����_�Ƃ���ɍ��W$(r,f)$�ŗ^������
�O����̓���̓_�ł̎���$m$���l����B
�܂��O�f���̎��ʂ̃����O��$(r',f')$�ł̐��v�f���l����B
���ʗv�f��$\rho r' d\phi $�ŁA
\begin{equation}
 \phi = f'+\varpi '-f-\varpi
\end{equation}
�͓�̗v�f�̈ʒu�x�N�g���̊Ԃ̊p�x�i�o�x�̍��j�ł���B
$\Delta$������$m$�ƃ����O�v�f�Ƃ̋������Ƃ���ƁA
\begin{equation}
 \Delta \sin{\phi} = r' \sin{\phi}
 \quad \text{and} \quad
 \Delta \cos{\theta} = r' \cos{\phi} -r
\end{equation}
�ł���B
���܂��܂Ȋp�x�̊֌W�͐}7.8�Ɏ����B

���ʗv�f��$m$�Ƃ���ɋy�ڂ����͂͏œ_���玿��$m$�֌��������a������
����ɐ��̕����ɒ��p�ȕ����̐����ɕ�������B
�͂̔��a�����ƒ��p�����̐�����
\begin{equation}
 d\bar{\bm{R}} =\frac{\mathcal{G} \rho r'}{\Delta ^2}
                \cos{\theta} d\phi
 \quad \text{and} \quad
 d\bar{\bm{T}} =\frac{\mathcal{R} \rho r'}{\Delta ^2}
                \sin{\theta} d\phi
\end{equation}
������$\theta$�͏œ_����$m$�ւ̃x�N�g���̉����ƁA
$m$�Ǝ��ʗv�f�����Ԓ����Ƃ̊Ԃ̊p�x�ł���B
���ʗv�f��$(\rho \Delta /\cos(\theta -\phi) d\theta$�̂悤�ɕ\����
$\theta$�Őϕ����邱�Ƃ��ł��邪�A
$\phi$�ł̐ϕ��̂ق����e�Ղł��邱�Ƃɒ��ӂ���B
$\cos{theta}$��$\sin{theta}$�Ɏ��i7.97�j������
\begin{equation}
 d\bar{\bm{R}} =\mathcal{G} \rho r'
                \frac{\left( r'\cos{\phi} -r \right)}{\Delta ^3}
                d\phi
 \quad \text{and} \quad
 d\bar{\bm{T}} =\frac{\mathcal{G} \rho r'^2\sin{\phi}}{\Delta ^3}
                d\phi
 \end{equation}
�𓾂�B
$\Delta$��$r,r',\phi$�ŕ\�����Ƃ��ł���B
�]���藝���
\begin{equation}
 \Delta ^2 =r'^2 +r^2 -2rr'\cos{\phi}
\end{equation}
�ł���B
���������āA
\begin{equation}
 \Delta ^{-3} = \left( r'^2 +r^2 -2rr'\cos{\phi}
                \right) ^{-\frac{3}{2}}
\end{equation}
����
\begin{equation}
 \Delta _0^{-3} =\left( a'^2 +a^2 -2aa'\cos{\phi}
                 \right) ^{-\frac{3}{2}}
\end{equation}
�Ƃ����$\Delta ^{-3}$��$r=a$�̂܂��Ńe�[���[�W�J�ł���B
\begin{equation}
 \Delta ^{-3} \approx \Delta _0^{-3} 
                      +(r-a)\frac{\partial}{\partial a}
                       \left( \Delta _0^{-3} \right)
                      +(r'-a')\frac{\partial}{\partial a'}
                       \left( \Delta _0^{-3} \right)
\end{equation}
�ł���B
����ɁASect.6.4�̃��v���X�W���̒藝��p�����
\begin{equation}
 \Delta _0^{-3} =\frac{1}{a'^3} \frac{1}{2}
                 \sum _{j=-\infty}^{\infty} b_{3/2}^{(j)}
                 \cos{j\phi}
\end{equation}
�ƂȂ�B
$\alpha =a/a'$����
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial a} \equiv \frac{1}{a'} 
 \frac{\partial}{\partial \alpha}
 \quad and \quad
 \frac{\partial}{\partial a'} \equiv -\frac{1}{a'} 
 \frac{\partial}{\partial \alpha}
\end{equation}
�Ƃ�����B
�����
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial a} \left( \Delta _0^{-3} \right)
 = \frac{1}{a'^4} \frac{1}{2} \sum _{j=-\infty}^{\infty}
   \frac{db_{3/2}^{(j)}}{d \alpha} \cos{j\phi}
\end{equation}
�܂�
\begin{equation}
 \frac{\partial}{\partial a'} \left( \Delta _0^{-3} \right)
 = -\frac{1}{a'^4} \frac{1}{2} \sum _{j=-\infty}^{\infty}
   \left( 3b_{3/2}^{(j)}
    +\alpha \frac{db_{3/2}^{(j)}}{d \alpha}  \right) \cos{j\phi}
\end{equation}
�ƂȂ�B

�ȉ~�O���ɂ�����^���ł�
\begin{equation}
 r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos{f}}
\end{equation}
�Ȃ̂�
\begin{equation}
 r-a \approx -ae\cos{f} + \mathcal{O} _{(e^2})
\end{equation}
�ł���B
����������$e$�̈��̍��܂łł�
%\begin{eqnarray}
\begin{equation}
 \begin{split}
 \Delta ^{-3} =\frac{1}{2} \frac{1}{a'^3}
               \sum _{j=-\infty}^{\infty} \biggl[
              & b_{3/2}^{(j)} 
               -\alpha e\frac{db_{3/2}^{(j)}}{d\alpha} \cos{f} \\
              & -e'\left(  3b_{3/2}^{(j)} 
               +\alpha \frac{db_{3/2}^{(j)}}{d\alpha} \right)
               \cos{f'} \biggl] \cos{j\phi}
 \end{split}
\end{equation}
%\end{eqnarray}

����$m$�ɓ������a�����̗͂̑���$\bm{R}$�̑傫�������ς��邽�߂ɁA
�������߂�K�v������B
\begin{equation}
\begin{split}
 \bm{R} &=\oint d\bm{R} 
         =\int _{\phi =0}^{2\pi} \mathcal{G} \rho r'
          (r'\cos{\phi} -r)\Delta ^{-3} d\phi \\
        &=\int _{f'=0}^{2\pi} \mathcal{G} \rho r'
          (r'\cos{[f'+\varpi '-f-\varpi ]} -r)\Delta ^{-3} df'
 \end{split}
\end{equation}
������$\phi =f'+\varpi '-f-\varpi$�͎��i7.110�j�ŗ^������
$\Delta ^{-3}$��W�J���邱�Ƃœ�����B
�܂�$r'$��
\begin{equation}
 r'\approx a'(1-e'\cos{f'})
\end{equation}
�ł���B

�ڐ����������̗͂̑傫����
\begin{equation}
 \begin{split}
 \bm{T} &=\oint d\bm{T} 
         =\int _{\phi =0}^{2\pi} \mathcal{G} \rho r'^2 
                                 \sin{\phi \Delta ^{-3}} d\phi \\
        &=\int _{f'=0}^{2\pi} \mathcal{G} \rho r'^2
                    \sin{[f'+\varpi '-f-\varpi] \Delta ^{-3}} df' 
 \end{split}
\end{equation}
�ł���B

�����ŏd�v�Ȃ̂́A���i7.111�j�Ɓi7.113�j��$f'$�ɂ��Đϕ�������ł�
������$\Delta ^{-3}$�̓W�J�̑��a���L���ɂȂ��Ă��邱�Ƃł���B
�Ⴆ�΁A
\begin{equation}
 \cos{f'} \cos[j(f'+\beta)] =\frac{1}{2}
             (\cos[f'-j(\beta +f')] +\cos[f'+j(\beta +f')])
\end{equation}
$\beta$��$f'$�ɂ��Ȃ��p�x�Ȃ̂ŁA
\begin{equation}
 \int _0^{2\pi} \cos{f'} \cos[j(f'+\beta)] df'
  =\begin{cases}
    0               & \text{$j\neq \pm 1$�̂Ƃ�} \\
    \pi \cos{\beta} & \text{$j= \pm 1$�̂Ƃ�}
   \end{cases}
\end{equation}
�ƂȂ�B
����������$j$�Őϕ������Ƃ��̗L���̍��������d�v�ł���B
$e$�̈ꎟ�̍��݂̂��l����̂ŁA
�K�v�Ȃ̂͑����Ă�$j=-2$����$j=+2$�܂ł̘a�ł���B
�����$b_s^{(-j)} =b_s^{(j)}$���g���Ή���P���Ȃ��̂ɂł���B

$\bm{R}$��$\bm{T}$�ɂ��΍��^�����x�𒲂ׂ邽�߂ɁA
�K�E�X�^�ۓ��������������B
���i2.165�j����
\begin{equation}
 \dot{\varpi} =\frac{1}{nae} \left[ -\bm{R} \cos{f} +
               \bm{T} \left(
                      \frac{2+e\cos{f}}{1+e\cos{f}}
                      \right) \sin{f} \right]
\end{equation}
�𓾂�B������$\mathcal{O} _(e^2)$�̍��͖��������B

���i7.95�j����$\rho$�̒�`�Ǝ��̋ߎ����g���ƁA
\begin{equation}
 r'^2 \approx a'^2 (1-2e' \cos{f'})
 \quad \text{and} \quad
 r'^3 \approx a'^3 (1-3e'\cos{f'})
\end{equation}
���a�����̗͂̐���
\begin{equation}
 \begin{split}
 \bm{R} = \frac{\mathcal{G} m'}{2\pi a'b'} \int _0^{2\pi} [
         &a'^3 (1-3e'\cos{f'})
          \cos[f'+\varpi '-f-\varpi] \\
         &-ra'(1-2e'\cos{f'} )]\Delta ^{-3} df'
 \end{split}
\end{equation}
�Ɛڐ������̗͂̐���
\begin{equation}
 \bm{T} =\frac{\mathcal{G} m'}{2\pi a'b'}
         \int _0^{2\pi} a'^3 (1-3e'\cos{f'} )
         \sin[f'+\varpi '-f-\varpi ]\Delta ^{-3} df'
\end{equation}
�𓾂�B���̂Ƃ�$\Delta ^{-3}$��$\phi =f'+\varpi ' -f-\varpi$�Ȃ�
���i7.110�j���^������B

$\bm{R}$��$\bm{T}$�̌v�Z�ł�$\Delta ^{-3}$���`���鑍�ʂł�
$j$�ɂ݂̂ɋN������l��$j=0,\pm 1,\pm 2$�ł���B
$\bm{R}$��$\bm{T}$�̉���
\begin{equation}
 \begin{split}
 \bm{R} =&\frac{\mathcal{G} m'}{2a'^2}
          \biggl[ b_{3/2}^{(1)} -\alpha b_{3/2}^{(0)} +\alpha e
          \left( b_{3/2}^{(0)} -\frac{db_{3/2}^{(1)}}{d\alpha}
                 +\alpha \frac{db_{3/2}^{(0)}}{d\alpha}
          \right) \cos{f} \\
         &-\alpha e'
          \left( b_{3/2}^{(1)} -\frac{1}{2}
                 \frac{db_{3/2}^{(0)}}{d\alpha}
                 -\frac{1}{2} \frac{db_{3/2}^{(2)}}{d\alpha}
                 +\alpha \frac{db_{3/2}^{(1)}}{d\alpha}
          \right) \cos(\varpi '-\varpi -f)
          \biggl]
 \end{split}
\end{equation}
������
\begin{equation}
 \bm{T} =\frac{\mathcal{G} m'}{4a'^2} \alpha e'
         \left( \frac{db_{3/2}^{(2)}}{d\alpha}
                -\frac{db_{3/2}^{(0)}}{d\alpha}
         \right) \sin(\varpi '-\varpi -f)
\end{equation}
�ł���B�����ł�$b'=a'+\mathcal{O} _{(e^2)}$�Ƃ��Ă���B
$e'=0$�̂Ƃ��ɂ͐ڐ������̗͂̐����͂Ȃ��B

���i7.120�j�Ɓi7.121�j���������
$f$�̊֐��ł��鎮�i7.116�j�̓�̍��̎��ԕ��ϒl��������B
�����
\begin{equation}
 \langle F(f) \rangle =\frac{1}{2\pi} \int _0^{2\pi}
                       F(f) dM
\end{equation}
�ƂȂ�B$F(f)$��$f$�̈�ʊ֐���$M$�͐^�ߓ_���p�ł���B
������sect.2.5��$M$�̍���$\cos{f}$��$\sin{f}$�̓W�J�����g����B
����ɂ���Ď��̂悤�ȏꍇ�̕��ψړ����x���^������B
\begin{equation}
 \begin{split}
 &\langle \dot{\varpi} \rangle = \\
 &+\frac{1}{4} \frac{m'}{m_c} n\alpha ^2 \biggl[ 
  -3\alpha b_{3/2}^{(0)} +2b_{3/2}^{(1)}
  +\alpha \frac{db_{3/2}^{(1)}}{d\alpha}
  -\alpha ^2 \frac{db_{3/2}^{(0)}}{d\alpha} \\
 &+\frac{e'}{e} \frac{\alpha}{2}
  \left( -3\frac{db_{3/2}^{(0)}}{d\alpha}
         +2b_{3/2}^{(1)} +\alpha \frac{db_{3/2}^{(1)}}{d\alpha}
         +\frac{db_{3/2}^{(2)}}{d\alpha}
  \right) \cos(\varpi '-\varpi) \biggl]
 \end{split}
\end{equation}
���̌��ʂ�ۓ��֐����g�������@�i���i7.94�j�j�Ɣ�r����ƁA
���i6.70�j-�i6.72�j�̊֌W���g�������i7.123�j�ł�
���܂��܂ȃ��v���X�W�������߂�K�v������B
�܂��̓��v���X�W���̑g�ݍ��킹��$\alpha$�̋����Ƃ��ēW�J���邱�Ƃ��ł���B
�ǂ���̕��@�ł����i7.123�j�̓W�J�͎��i7.94�j�ŗ^����ꂽ���̂Ɠ����ɂȂ�B
���������ăK�E�X�@���g���ƁA�O���ɉ����Ď��ʂ̂΂�T�����g����
�O�ۓ����ɂ��ߓ_�ł̉i�N�ω��́A
�d�v�Șf���ۓ��֐��̉i�N���ȊO�͂قƂ�ǖ������ē�������̂Ɠ������B
���ό����̗��p�ɂ͂�茵���Ȑ��������K�v�ł���B


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%