%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ �Έ� �q } % �����̖��O
\Ddate{ 2005/01/07 } % �쐬��
\Dfile{ sec0505.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{5}    % (�͔ԍ� -1) �������
\setcounter{subsection}{4} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{0}  % 
\setcounter{equation}{95}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{21}
\setcounter{figure}{13}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
% ��������{���������ĉ�����.
\subsection{���ւ̕ߊl}

���ւ̕ߊl�𗝉����邽�߂ɂ͂ЂƂ�肪����B����͂��̌�Ɍ��邱�Ƃ��ł���A
���]�O�����Ƃ̑����ł̉q���̎��]���x�̐i���ł���B���߂� 
$\dot{\theta} > pn$ �Œ����͉q���̎��]�𗐂��悤�ɓ����Ɖ��肷��B����������
�A���߂� $\dot{\gamma}> 0$ �ŋ��ɂ͏�̕�����i�}5.14�Q�Ɓj�߂Â��B���C��
����ꍇ�́A���p $\gamma$ �̉^���������́A
\begin{equation}
  \mathcal{C} \ddot{\gamma} +\frac{3}{2}(\mathcal{B} - \mathcal{A})
  n^2 H(p,e)\sin{2\gamma} = \langle N_s \rangle 
\end{equation}
�ƂȂ�B���ԂɊւ��Đϕ�����ƁA���̃G�l���M�[�ϕ��𓾂�B
\begin{equation}
  \frac{1}{2}\mathcal{C}\dot{\gamma} ^2 
  -\frac{3}{4}(\mathcal{B} - \mathcal{A})n^2 H(p,e)\cos{2\gamma} =E
\end{equation}
�����ŁA $E$ �͑S�G�l���M�[�ŁA
\begin{equation}
  E=\langle N_s \rangle \gamma + E_0
\end{equation}
�ŕ\����A $E_0$ �͏�����Ԃɂ���Č��߂���萔�ł���B�G�l���M�[������
�i5.97�j�ɂ����āA�����I�ȉ��i$\dot{\gamma} > 0$�j�������߂ɂ́A
\begin{equation}
  E> -\frac{3}{4}(\mathcal{B} -\mathcal{A})n^2 |H(p,e)|
\end{equation}
�łȂ���΂Ȃ�Ȃ��B�����A 
$E> +(3/4)(\mathcal{B} -\mathcal{A})n^2 |H(p,e)|$ �Ȃ�A 
$\dot{\gamma}$ �̕����͕ω������A $\gamma$ �̉^���͏z�̂ЂƂł���B����
���Ȃ���A $\langle N_s \rangle < 0$ �Ȃ�΁A�����͂� $E$ ������������悤
�ɓ����A���̑����� $\dot{\gamma}$ ���[���܂Ō�������Ƃ��ɋN����B

�}5.14a�ł́A $\gamma$ �ɂƂ��Ȃ� $\dot{\gamma} ^2$ �̕ω��������B����A�}
5.14b�� $\dot{\gamma} ^2$ �̕ω����̐����ɕ����Ă���B�ЂƂ� 
$\gamma$ �ɔ��������֐��ɓI�ɕω�����|�e���V�������ƁA���Ƒ�������O�� 
$\gamma $ �̑����ɂƂ��Ȃ������I�Ɍ������A���Ƒ���������� $\gamma $ �̌���
�ɔ��������I�ɑ�������������荀�ɂ����̂ł���B��҂̕\���ł� $\gamma$ �ɔ�
�� $\dot{\gamma} ^2$ �̕ω��͓�̍��̍��ɂ���ė^������B���� 
$\langle N_s \rangle$ �����Ȃ�A�^���������͊��S�Ɍ��ɖ߂��Ă��܂��B 
$\dot{\gamma}$ �̕����͋������̂Ƃ��ɕς�邪�A�������
�i$\gamma , \dot{\gamma}$�j�̋�Ԃł̌n�̋O���́A�����O�Əd�Ȃ�̂ŋ��ւ�
�ߊl�͋N����Ȃ��B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=10cm,clip]{5_14.eps}
 \end{center}
 \caption{(a)���p $\gamma$ �� $(1/2)\dot{\gamma} ^2$ �̕ω��B(b) $\gamma$ �� $(1/2)\dot{\gamma} ^2$ �̕ω��� $\gamma$ �ƂƂ��Ɏ֍s���Ȃ���ω�����|�e���V�������� $\gamma$ �̑����Ƌ��ɒ����I�Ɍ������钪���g���N�ɂ�鍀�ւ̕����B��҂̎�舵���ł́A $(1/2)\dot{\gamma} ^2$ �͓�̍��̍��ɂ���ė^������B}
\end{figure}
%

Goldreich��Peale(1968)�́A���̋���ߊl����Ȃ��Œʉ߂��鎖�ɂ��āA�����U
��q�Ƃ̗ގ��_��p���Đ������Ă���B�U��q���z���Ă���ԁA���̃g���N�͂��̏z
�𗐂��悤�ɓ����B���������Ă��̌�A�U��q�͍Ō�̎x�_�i $\dot{\gamma} >0$ 
�̍ŏ��̕����j��ʂ�߂��Ă���A���̌��]���x�̓[���ɂȂ�܂Ō����Ă��܂��B�U��q
�̏z�͂��̂Ƃ��t�ɂȂ�B�������Ȃ���A�g���N�̑傫���ƕ����͗����Ƃ��ς��Ȃ�
�܂܂ŁA���������ăg���N�͐U��q�̏z���x�𑝉�������悤�ɓ����B�������O�̐U
��q�����菜���ꂽ�G�l���M�[�͂��ׂčĂы�������A�U��q�͎x�_�܂ŐU��߂��Ă�
�āA�z���x�̑傫���́i $\dot{\gamma} <0$ �Łj����������B

�G�l���M�[�������̎֍s���Ă���|�e���V�������̐U�������ł���Ƃ���ƁA���ւ�
�ߊl���N���邽�߂ɂ͎��̂悤�ɂȂ�B�ia�j $\langle N_s \rangle$ �͂ǂ��ɂ���
�� $\dot{\gamma}$ �ɔ����ĕK���ω����A�����āib�j���̑O�̐U��q�̗h��̊ԁA 
$\dot{\gamma}$ �̕������t�ɂȂ�Ƃ��A�U��q���x�_���z���ĐU��߂�̂�W�����
���ɁA�������i $\dot{\gamma}$ =0 �j���O�� $E$ �̌����̕������������ 
$E$ �̑��������傫���Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��B

���̂悤�ɁA�G�l���M�[�U����l���������̗��_�́A���낢��ȓ_�ł��܂蔭�B���Ă���
���B�������Ȃ���AGoldreich��Peale�i1966,1968�j�ŁA 
$\langle N_s \rangle$ �� $\dot{\gamma}$ ���炸��邱�Ƃ���������������
�����Ƃ��炵�������U��̃��f����^���Ă���B�����āA�����̃��f�����g���āA����
�ւ̕ߊl�̊m�������ς������B�����̃��f���̂���Darwin�i1908�j�Ɋւ������L
�q���邪�A���̑O�ɉ^���������̗l�X�ȍ��̑傫�������ς��邱�Ƃ��K�v�ł���B���z�n
�ɂ�����l�X�ȓV�̂ɓ��������͔͂��Ɏキ�A�����A���\���N�ɂ킽���ē����̂Ŏ��]
���x�ƌ��]�����ɏd��ȕω��������N�����B�\5.2�Ƀ��X�g����Ă��� 
$k_2 , \mathcal{Q}$ �Ȃǂ̒l���g���ƁA���������ƌ��̍ŏ��̎��]����
�i $2\pi /\dot{\theta} _{initial}$ �j���X���Ԃ������Ƃ���΁A����玩�g��
�u���[�L��������̂ɕK�v�Ȏ��Ԃ͂��ꂼ�� $5�~10^9$ �� $3�~10^7$ �N�ŁA�����
�������z�Ԃ̎��]�O��������r�I�ɎႢ���̂ł��邱�Ƃ��ق̂߂����Ă���B���i5.88
�j�ɂ���ė^������x��p $\gamma _0$ �͂��������b�ŁA�����G�l���M�[��������
�|�e���V������ 
$(3/4)(\mathcal{B} -\mathcal{A})n^2 H(p,e)\cos{2\gamma}$ �̐U���� $U$
 �Ƃ���ƁA���̂Ƃ� $\langle N_s \rangle \pi /U \ll 1$ �ƂȂ�B�������� 
$T_{libration} =2\pi /\omega _0$ �i���i5.85�j�Ŏg���j�́A���]����������
�������A�傫�ȃt�@�N�^�[�ň���Ă���A�Ƃ������Ƃ������Ă����B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=7cm,clip]{t5_2.eps}
 \end{center}
 \caption{�����ƌ��̋O���Ɋւ��镨���ʁB}
\end{figure}
%

�f���ɂ���ĉq���ŏ㏸���钪���ɂ��q���̒����g���N���v�Z����̂�Darwin�̎菇��
�g���΁A�����|�e���V������Fourier���ԋ����ɓW�J���āA�������ꂼ�ꂪ�q���̕��t��
���𐶂�������Ƒz�肷��B�����U��̌��ʂ͂��̂Ƃ��A�������ꂼ��ɐ������|�e���V
��������i�߂邩�x�ꂳ���邩������悤�Ȉʑ��̕ω���^���邱�Ƃɂ���ă��f������
���B�ŏ��̃��f���ł́A�ʑ��̂���╄���ł͂Ȃ��傫���͒����U��������Ɨ��ɂ��
�Ȃ��B���̏ꍇ�A���ϒ����g���N��
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-D\sum_{h=-\infty}^{\infty} 
                      [H(h,e)]^2 sign(\dot{\theta} -hn)
\end{equation}
�ŗ^������B������ $h$ �͔������ŁA $D$ �͎��i5.3�j�ŗ^�����鐳�̒萔�A�q
���̎��]���͋O���ʂɐ����ł���Ɖ��肷��B $p$�Ԗڂ̋��ւ̕ߊl�Ɋւ��ẮA 
$\dot{\theta} -pn=\dot{\gamma}$ ��
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-W-Z \, sign(\dot{\gamma}) 
\end{equation}
�Ƃ����A�����ŁA
\begin{equation}
  W=+D \sum_{h \neq p} [H(p,e)]^2 sign(p-h)
\end{equation}
������
\begin{equation}
  Z=+D[H(p,e)]^2
\end{equation}
�G�l���M�[�̕ω��̑��x�͎��̂悤�ɏ�����B
\begin{equation}
  \frac{d \, E}{dt} =\langle N_s \rangle \dot{\gamma}
\end{equation}
����ăG�l���M�[��
\begin{equation}
  \int d\, E = \int_{\gamma _1}^{\gamma _2} \langle N_s \rangle
\end{equation}
�ɏ]�� $\gamma$ �ƂƂ��ɕω�����B $\pi \langle N_s \rangle \ll (3/4)(\mathcal{B} -\mathcal{A})n^2 H(p,e)$ �Ȃ̂ŁA�}�i5.15�j�̒����̌X���͖����ł���قǂŁA�S�ϕ��� $\gamma _2 -\gamma _1 =\pi$ �Ƒz��ł���B

������Ԃ͖��ׂɂ͏q�ׂ��Ă��Ȃ��̂ŁA�_ $P$ �ł̃G�l���M�[�͊p ${E_0}'$ ���� ${E_0}' +\Delta E$ �̊ԂȂ�ǂ��ł����݂ł���B�����ł� $\dot{\gamma}$ �͏��߂ă[���܂Ō������i�}�i5.15�j�j�A
\begin{equation}
  \Delta E =(W+Z)\pi
\end{equation}
�ł���B $p$ �Ԗڂ̋��Ƃ̑����ɂ����āA��(5.101)�� $h=p$ �̍��̕����͕ω�����B�������̑O�́A $\dot{\gamma} > 0$ �ŁA
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-W-Z
\end{equation}
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=10cm,clip]{5_15.eps}
 \end{center}
 \caption{���ւ̕ߊl�� $\delta \, E$ �ƈʒu $P$ �ł� $\gamma$ �̑傫���ƕ����Ɉ˂�A������ $(1/2)\dot{\gamma}$ �͍ŏ��Ƀ[���܂Ō���B $P$ �̈ʒu�ŕߊl�Ȃ�(a)�ƕߊl����(b)�ł̋��̑������킩��B���� $\delta \, E<0$ �� $| \delta \, E\| > |\Delta \, E|$ �Ȃ�A�ߊl�m���� $|\delta \, E/\Delta \, E|$ �ɂ���ė^�����A�ߊl�͊m���ł���B}
\end{figure}
%
�������̂��Ƃ́A $\dot{\gamma} < 0$ �ŁA
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-W+Z
\end{equation}
�ł���B���������ċ������ł́A $\langle N_s \rangle$ �̑傫���� $2Z$ ������B���̂��Ƃ͎��ɂ��B�����̈�����ɂ킽�� $E$ �̌����͎��ŗ^�����A
\begin{equation}
  \delta \, E =2Z\pi
\end{equation}
 $p$ �Ԗڂ̋��ւ̕ߊl�̊m�� $P_p$ ��
\begin{equation}
  P_p =\frac{2Z}{Z+W} =\frac{2[H(p,e)]^2}{[H(p,e)]^2+\sum _{hp} [H(p,e)]^2 sign(p-h)}
\end{equation}
�ł���B���̏ꍇ�A�ߊl�̊m���� $(\mathcal{B} -\mathcal{A})/\mathcal{C}$ �������́i��(5.87)�̋��x��𖞂����Ă���Ɖ��肷��j $D$ �ł̒�����������̑傫���ǂ��炩�ɂ͂��Ȃ��B $D$ �� $p$ �� $e$ �ɂ݂̂���Č��߂���B

 $p$ �Ԗڂ̐����̋��ւ̕ߊl�m����Goldreich��Peale�i1968�j�� $e=0.2$ �ƕ\5.3�ɏ�����Ă���U��������Ɨ����Ă��� $\mathcal{Q}$ �Ɋւ��Čv�Z�����B���̓Ɨ��U�������f���� $p=+3/2$ �̋��ƍ��I�[�_�[�̋����������΁A�����Ƃ��̕ߊl�Ɋւ��ėǂ��������^������B����������́A�����̐U���̒�~�ɂ��Ă͐������Ă��Ȃ��B $H(p,e) >0$ �̏ꍇ�A $\gamma$ �� $\gamma _0 \approx 0$ �̎�������i5.97�j�� $\dot{\gamma} =0$ �ŉ������Ƃɂ���ė^������U�� $\gamma _{max}$ �Ŕ�������B���� $\gamma 0$ �̃[������̏����Ȃ���𖳎�����ƁA
\begin{equation}
  \frac{1}{4} \omega _0 \cos{2\gamma _{max}} \approx -E/\mathcal{C}
\end{equation}
�܂��A
\begin{equation}
  \dot{\gamma _{max}} \approx \frac{2\dot{E}}{\mathcal{C}\omega _0^2 \sin{2\gamma _{max}}}
\end{equation}
�𓾂�B�����̐U���̒�~�ɂ� $\dot{E} <0$ ���K�v�ł���B�������Ȃ���A
\begin{equation}
  \dot{E} = \langle N_s \rangle \dot{\gamma}
\end{equation}
�ł���A���� $\langle N_s \rangle$ �� $\dot{\gamma}$ �Ɉ˂�Ȃ��Ȃ�΁A $\langle \dot{\gamma} \rangle = \langle \dot{E} \rangle =0$ �ƂȂ蔉���͎~�܂�Ȃ��B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=8cm,clip]{t5_3.eps}
 \end{center}
 \caption{ $e=0.2$ �ł̐����� $p$ �Ԗڂ̋��ւ̕ߊl�m�� $P_p$ }
\end{figure}
%

Goldreich��Peale(1968)�ōl�����Ă����ڂ̃��f���͒����U��֐����U�����Ɉ˂邱�Ƃ������Ă���B���̏ꍇ�A
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-K' \sum_{h=-\infty}^{\infty} [H(p,e)]^2(\dot{\theta} -hn)
\end{equation}
�����肵�A�����ł� $K'$ �͐��̒萔�ł���B���ɋ߂��A $\dot{\theta} =pn+\dot{\gamma}$ ��
\begin{equation}
  \langle N_s \rangle =-K \left( V+\frac{\dot{\gamma}}{n} \right)
\end{equation}
�Ə����A
\begin{equation}
  K=K'n \sum_h [H(p,e)]^2
\end{equation}
�����āA
\begin{equation}
  V=\frac{\sum _h (p-h)[H(p,e)]^2}{\sum _h [H(p,e)]^2}
\end{equation}
�ł���B $p$ �Ԗڂ̋��ւ̕ߊl�m����
\begin{equation}
  P_p=\frac{4(\omega _0 /n)}{\pi \, V+2(\omega _0 /n)}
\end{equation}
�ŗ^������B�U�����ˑ��̏ꍇ�ɂ́A�m���͐U���̏����Ȕ����̐U���� $(\omega _0/n)$ �Ɨ��S�� $e$ �Ɉˑ�����B�\5.3�Ɍ�����m���͏��������A�����ł���قǂł͂Ȃ��A���̏ꍇ $\langle N_s \rangle$ �� $\dot{\gamma}$ �ւ̈ˑ��͌��ʓI�� $\dot{\gamma} ^2$ �ɔ�Ⴕ�� $\dot{E}$ �Ɋւ��鎮�̂ЂƂ̍��ɂȂ�B���̍��̓[������̕��ςŁA���������Ĕ����̐U���͒�~����B



%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
