%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ �Έ� �q } % �����̖��O
\Ddate{ 2004/08/22 } % �쐬��
\Dfile{ sec0503.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{5}    % (�͔ԍ� -1) �������
\setcounter{subsection}{2} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{0}  % 
\setcounter{equation}{14}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{6}
\setcounter{figure}{3}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
% ��������{���������ĉ�����.
\subsection{�i�v�l�d�Ɏq���[�����g}

�d�S����̔C�ӂ̋����ɂ�����i�v�ό`�����q���̊O���̏d�͏���v�Z����ɂ́A�q��
���̎��ʕ��z�̋L�q���K�v�ł���B�������ł̏�͎��_�ɂ���ɂ���Ă��܂��\����
�Ƃ��ł���B��������������������i����ł��傫�����j�ꍇ�́A�q���̎劵�����[
�����g�ɂ���Ē�߂��鎿�ʕ��z�̏��́A�\���ł���Əؖ������B���Ƃɑ�����
�o�́A���Macmillan(1936)��Ramsey(1937,1940)�ɂ����̂Ɋ�Â��Ă���B��
�̒��̓_ $P$ �̎��ʗv�f���l���A���̗v�f�̔C�ӂ̌��_ $O$ �ɑ΂���ʒu�x�N�g��
�� $\mathbf{p}=(x,y,z)$ �Ƃ���B�i�}5.4�j���W�̎��Ɋւ��銵�����[�����g��
���Œ�`����B
\begin{gather}
 \mathcal{A}=\sum \delta m(y^2+z^2) \\
 \mathcal{B}=\sum \delta m(z^2+x^2) \\
 \mathcal{C}=\sum \delta m(x^2+y^2)
\end{gather}
�܂��A������ς́A
\begin{gather}
 \mathcal{D}=\sum \delta m \, yz \\
 \mathcal{E}=\sum \delta m \, zx \\
 \mathcal{F}=\sum \delta m \, xy
\end{gather}
�ł���B

���� $OL$ �̎���̊������[�����g $I_L$ �́A $\mathcal{A,B,C,D,E,F}$ �� ���� $OL$ �� $x,y,z$ ���̕����]�� $l,m,n$ �ŕ\�����B $P \mathcal{Q}$ �͓_ $P(x,y,z)$ ��ʂ�A���� $OL$ �ɐ����Ȓ����Ƃ���B�܂��A�ʒu�x�N�g�� $\mathcal{Q}$ �� $\mathbf{q} =(x',y',z')$ �ŗ^������B���������āA�x�N�g�� $\mathbf{p}$ �� $\mathbf{q}$ �̑傫���́A���ꂼ�� $OP = p$ , $O \mathcal{Q} =q$ �ł���B $P \mathcal{Q}$ �� $OL$ �ɐ����Ȃ̂ŁA
\begin{equation}
 \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} =q^2
\end{equation}
�𓾂�B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=8cm,clip]{5_4.eps}
 \end{center}
 \caption{���̒��̓_ $P$ �ł̎��ʗv�f $\delta m$ �̈ʒu�́A�ʒu�x�N�g�� $\mathbf{p} =(x,y,z)$ �ł���킳���B$OL$ �� $O$ �ł̍��W�n�ł̌��_����̔C�ӂ̒����ł���B$PQ$ �͓_ $P$ ��ʂ�A $OL$ ��̈ʒu�x�N�g�� $\mathbf{q} =(x',y',z')$ �̓_ $Q$ �Œ��� $OL$ �ɐ����ł���B�_ $R$ �͒��� $OL$ ��́A�ʒu�x�N�g�� $\mathbf{r} =(x'',y'',z'')$ �ł���킳���C�ӂ̓_�ł���B}
\end{figure}
%
�������Ȃ���A
\begin{equation}
 \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} =xx'+yy'+zz'=x(lq)+y(mq)+z(nq)=q(lx+my+nz)
\end{equation}
�Ȃ̂ŁA����������
\begin{equation}
 q=lx+my+nz
\end{equation}
�ƂȂ�B�������[�����g $I_L$ ��
\begin{equation}
 I_L=\sum \delta m(P\mathcal{Q})^2=\sum \delta m[x^2+y^2+z^2-(lx+my+nz)^2]
\end{equation}
�ł���������B $l^2+m^2+n^2=1$ �Ȃ̂ŁA
\begin{equation}
 I_L=\sum \delta m[(x^2+y^2+z^2)(l^2+m^2+n^2)-(lx+my+nz)^2]
\end{equation}
�Ə�����B�W�J���Đ��������
\begin{equation}
 \begin{split}
I_L= &l^2\sum \delta m(y^2+z^2)+m^2\sum \delta m(z^2+x^2)+n^2\sum \delta m(x^2+y^2) \\
     &-2mn\sum \delta m \, yz-2nl\sum \delta m \, zx-2lm\sum \delta m \, xy
 \end{split}
\end{equation}
����͎��̂悤�ɏ�����B
\begin{equation}
 I_L=\mathcal{A}l^2+\mathcal{B}m^2+\mathcal{C}n^2-2\mathcal{D}mn-2\mathcal{E}nl-2\mathcal{F}lm
\end{equation}
�������_ $O$ ����̋����� $r$ �� $OL$ ��̔C�ӂ̓_ $R(x'',y'',z'')$ ���l���A
\begin{equation}
 I_L=\frac{m_s\lambda ^4}{r^2}
\end{equation}
������ $m_s=\sum \delta m$ ��ό`���̂̑����ʁA $\lambda$ ��C�ӂ̒����Ƃ���Ȃ�A
\begin{equation}
 m_s\lambda ^4=\mathcal{A}x''^2+\mathcal{B}y''^2+\mathcal{C}z''^2-2\mathcal{D}y''z''-2\mathcal{E}z''x''-2\mathcal{F}x''y''
\end{equation}
 $x''=lr,y''=mr,z''=nr$ �Ȃ̂ŁA��(5.27)�͎�(5.29)�ɂȂ�B����͎O���ȉ~�̂̈�ʕ������ł���B�������W����Ώ̎��ƈ�v������̂�I�񂾂Ȃ�A������� $\mathcal{D,E,F}$ �͂��̐V�������ɂ��Ă͏�������A��(5.29)�͎��̂悤�ɕό`�����B
\begin{equation}
 m_s\lambda ^4=\mathcal{A}x''^2+\mathcal{B}y''^2+\mathcal{C}z''^2
\end{equation}
�����̐V�������͌��_ $O$ �Œ�`����镨�̂̊����厲�ł���B��(5.30)�́u�����ȉ~�v���`���Ă���B�i��̌v�Z�̏ڍׂ�Cauchy(1827)������j����͈��s�ςȕ��̂ŁA����������Ɨ����Ă��邪�A���_ $O$ �̈ʒu�ƂƂ��ɕω�����B$O$ ���d�S�Ȃ�A���̑ȉ~�́u�������S�ȉ~�v�ƌĂ΂��B���̑ȉ~�̓����ɂ��΁A�ǂ̕��̂����̌`�ɂ͂�炸�A����ЂƂ̎��̎���̊������[�����g�͍ő�ŁA���̂ЂƂł͍ŏ��A�O�ڂł͂��̒��Ԃ��������͂ǂ��炩�Ɠ����l�A�Ƃ����悤�ȎO�̂��݂��ɐ����Ȏ������B

���ꂩ��d�S�Ɋւ��Ē�`�����劵�����[�����g $\mathcal{A,B,C}$ �ɂ���āA�i�v�ό`�����q���̊O���d�͏�̎��𓱂��B�V�����n�ł́A�_ $O$ ���q���̏d�S�Ƃ��A�_ $P$ �͓_ $O$ ���狗�� $r$ �̈ʒu�ɂ���Ƃ���B�����ł� $r$ �́A�q���̕��ϔ��a���͂邩�ɑ傫���Ƒz�肵�A���W�n�́A $x,y,z$ �������q���̊����厲�ɉ����Ă���Ƃ���B(�} 5.5)
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=10cm,clip]{5_5.eps}
 \end{center}
 \caption{�q���̎��ʂ̒��S $O$ �����_�ŁA������Ȋ������[�����g�ƕ���ł�����W�n�B�_ $P$ �͓_ $O$ ���狗�� $r$ �ɂ���B�_ $\mathcal{Q}$ �ł̔������ʗv�f $\delta m$ �� $O$ ���狗�� $R$ �ɂ���A $O\mathcal{Q}$ �� $OP$ �̊p�x�� $\theta$ �ł���B}
\end{figure}
%

$\delta m$ �����_ $O$ ���狗�� $R$ �̓_ $\mathcal{Q}$ �ł̔������ʗv�f�Ȃ�΁A$P$ �ł̉q���̃|�e���V�����́A
\begin{equation}
 V=-\sum \frac{\mathcal{G}\delta m}{\Delta}=-\sum\frac{\mathcal{G}\delta m}{(r^2+R^2-2rR\cos \theta)^{1/2}}
\end{equation}
�ł���������B$\theta$ �� $OP$ �� $O\mathcal{Q}$ �̊p�ŁA�a�͂��ׂĂ̎��ʗv�f�������p���ł���B��(5.31)��񍀎��ɓW�J���āA�����̍������𖳎�����Ɓi���ׂĂ�$\mathcal{Q}$ �� $r \gg R$�j�A
\begin{equation}
 V\approx -\frac{\mathcal{G}m_s}{r}-\frac{\sum\mathcal{G}\delta m \, R\cos\theta}{r^2}-\frac{2\sum\mathcal{G}\delta m \, R^2-3\sum\mathcal{G}\delta m \, R^2\sin^2\theta}{2r^3}
\end{equation}
�𓾂�B�O�ɏq�ׂ��悤�ɁA $m_s=\sum\delta m$ �͉q���̎��ʂł���B�_ $O$ �͉q���̏d�S�Ȃ̂ŁA
\begin{equation}
 \sum\delta m \, R\cos\theta=0
\end{equation}
�ŁA�܂�
\begin{equation}
 \begin{split}
  2\sum\delta m \, R^2 &=2\sum\delta m(x^2+y^2+z^2) \\
                   &=\sum\delta m(y^2+z^2)+\sum\delta m(z^2+x^2)+\sum\delta m(x^2+y^2) \\
                   &=\mathcal{A}+\mathcal{B}+\mathcal{C}
 \end{split}
\end{equation}
�ƂȂ�B���� $OP$ �̎���̕��̂̊������[�����g�� $I$ �Œ�`����ƁA
\begin{equation}
 I=\sum\delta mR^2\sin^2\theta
\end{equation}
��(5.32)���ǂ��ߎ��͈̔͂ɂ����āA
\begin{equation}
 V=-\frac{\mathcal{G}m_s}{r}-\frac{\mathcal{G}(\mathcal{A}+\mathcal{B}+\mathcal{C}-3I)}{2r^3}
\end{equation}
����́AMacCullagh�̌����ł���B�iMacCullagh(1844),Haughton(1855)�j

���A $x,y,z$ ��_ $P$ �ł̍��W�Ƃ���� $x/r,y/r,z/r$ �͊����厲�Ɋւ���A�_ $P$ �ł̕����]���ł���B����āA��(5.27)����
\begin{equation}
 I=(\mathcal{A}x^2+\mathcal{B}y^2+\mathcal{C}z^2)/r^2
\end{equation}
�ł���BMacCullagh�̌����ɂ��� $I$ �̎���������ƁA
\begin{equation}
 V=-\frac{\mathcal{G}m_s}{r}-\frac{\mathcal{G}}{2r^5}f(\mathcal{A,B,C},x,y,z)
\end{equation}
�����ŁA
\begin{equation}
 \begin{split}
  f(\mathcal{A,B,C},&x,y,z)= \\
                    &(\mathcal{B}+\mathcal{C}-2\mathcal{A})x^2+(\mathcal{C}+\mathcal{A}-2\mathcal{B})y^2+(\mathcal{A}+\mathcal{B}-2\mathcal{C})z^2
 \end{split}
\end{equation}
���̃|�e���V�����̌��z�ɂ��A�_ $P$ �ł̒P�ʎ��ʂ��Ƃ̏d�͂̐�����
\begin{gather}
 F_x=-\frac{\partial V}{\partial x}=-\frac{\mathcal{G}m_sx}{r^3}+\frac{\mathcal{G}(\mathcal{B}+\mathcal{C}-2\mathcal{A})x}{r^5}-\frac{5\mathcal{G}x}{2r^7}f(\mathcal{A,B,C},x,y,z) \\
 F_y=-\frac{\partial V}{\partial y}=-\frac{\mathcal{G}m_sy}{r^3}+\frac{\mathcal{G}(\mathcal{C}+\mathcal{A}-2\mathcal{B})y}{r^5}-\frac{5\mathcal{G}y}{2r^7}f(\mathcal{A,B,C},x,y,z) \\
 F_z=-\frac{\partial V}{\partial z}=-\frac{\mathcal{G}m_sz}{r^3}+\frac{\mathcal{G}(\mathcal{A}+\mathcal{B}-2\mathcal{C})z}{r^5}-\frac{5\mathcal{G}z}{2r^7}f(\mathcal{A,B,C},x,y,z) 
\end{gather}
�����̗͓͂_ $P$ �̒P�ʎ��ʂ�����ɋ��͂��y�ڂ��A�ό`�̂̏d�S�ɂ́A�������Đ����΂ȋ��͂������B��҂̋��͂ɂ́A���̂悤�Ȑ���������B
\begin{gather}
 N_x=zF_y-yF_z=+3\mathcal{G}(\mathcal{C}-\mathcal{B})yz/r^5 \\
 N_y=xF_z-zF_x=+3\mathcal{G}(\mathcal{A}-\mathcal{C})zx/r^5 \\
 N_z=yF_x-xF_y=+3\mathcal{G}(\mathcal{B}-\mathcal{A})xy/r^5 
\end{gather}
Euler�̊��S�^���������́A
\begin{gather}
 \mathcal{A}\dot{\omega}_x-(\mathcal{B}-\mathcal{C})\omega_y\omega_z=N_x \\
 \mathcal{B}\dot{\omega}_y-(\mathcal{C}-\mathcal{A})\omega_z\omega_x=N_y \\
 \mathcal{C}\dot{\omega}_z-(\mathcal{A}-\mathcal{B})\omega_x\omega_y=N_z
\end{gather}
 $\omega_x,\omega_y,\omega_z$ �͎�Ȏ��ł̎��]�x�N�g���̎ˉe�ł���B�l������ɂ����ẮA�����f���ɂ���āA�q���̃g���N�����̎l�d�Ɏq���[�����g�̉e�����󂯂�̂ŁA�q���̉�]�^�����v�Z�������B�����ł͉q���̎��]���͋O���ʂɐ����� $\omega_x,\omega_y$ �̓[���ł���Ƒz�肷��B $x$ ���� $y$ ���Ɋւ��镽�ʃR�T�C�����A���ꂼ�� $x/r=\cos\psi$ �� $y/r=\sin\psi$ �Ǝ����B�i�}5.6�Q�Ɓj���̏ꍇ�AEuler�̉^���������́A��(5.48)����
\begin{equation}
 \mathcal{C}\ddot{\theta}-\frac{3}{2}(\mathcal{B}-\mathcal{A})\frac{\mathcal{G}m_p}{r^3}\sin{2\psi}=0
\end{equation}
�Ə�����B�p $\theta$ �͊�����ԂŌŒ肳�ꂽ�������瑪�������̂ł���B��̉^���������ȊO�̌������ł́A�Ⴆ��Danby(1988)�ł́A $\ddot{\theta}$ �̕����͐������ނ��땉�ŋL����Ă���B�����Danby�̍��W�n�̑I���� $\omega_z=-\dot{\theta}$ ���������Ƃɂ���Đ�����B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=10cm,clip]{5_6.eps}
 \end{center}
 \caption{�O���ʂɐ����Ȏ��]�������q���̉�]�B $\psi$ �͘f���]�q���Ԃ̒����Ǝ�v�Ȏ� $A$ �̊Ԃ̊p�x�ł���B�� $A$ �͉q���̍ŏ��������[�����g�Ɗ֌W���Ă���B�p $\theta$ �͊�����Ԃ̌Œ��������̊p�x�ł���B}
\end{figure}
%

�����l�@�ŁA�P���ŏ\���ȁA��(5.49)�̏ؖ��𓾂�B���a��Ő����΂ɂ����āA�ԓ��i�O���j���ʂɂ���A��������̎��_ $m$ �������`�q���ɂ���āA�i�v�l�d�Ɏq���[�����g�����q����\���B�i�}5.7�Q�Ɓj���_�̘f������̋��������ꂼ�� $r_1,r_2$ �Ƃ��A $r$ ���q���̒��S�Ƙf���̒��S�Ƃ̋����Ƃ���B�f���Ɖq���̒��S���q�������� $\mathcal{A}$ �Ɋ֌W�����v�Ȏ��Ɗp $\psi$ ���Ȃ��B $\mathcal{A}$ �͊������[�����g���ŏ��ŁA���_ $m$ �����Ԓ����ł���B

�q���̕��ϔ��a�� $R_s$ �Ƃ���΁A�f���Ɠ�̎��_�̊Ԃ̏d�͂ɂ��q���̃g���N�� $N_1+N_2$ �ŁA
\begin{equation}
 N_1=+\mathcal{G}\frac{m_sm_p}{r_1^2}R_s\sin\alpha, \qquad N_2=-\mathcal{G}\frac{m_sm_p}{r_2^2}R_s\sin\beta
\end{equation}
�p $\alpha,\beta$ �͐}5.7�Œ�`����B $N_1$ �̕����� $\theta$ �𑝉�������悤�ɓ����̂Ő��ł���B�R�T�C���ƃT�C���̌�����K�p����΁A
\begin{equation}
 \sin\alpha=\frac{r}{r_1}\sin\psi, \qquad \sin\beta=\frac{r}{r_2}\sin\psi
\end{equation}
�ƂȂ�B�܂��A
\begin{gather}
 \frac{1}{r_1^3} \approx \frac{1}{r^3}\left[1-\frac{3}{2}\left(\frac{R_s}{r}\right)^2+3\frac{R_s}{r}\cos\psi\right] \\
 \frac{1}{r_2^3} \approx \frac{1}{r^3}\left[1-\frac{3}{2}\left(\frac{R_s}{r}\right)^2-3\frac{R_s}{r}\cos\psi\right]
\end{gather}
�ł���B����䂦 $\theta$ �̉^���������͎��̂悤�ɕό`����āA
\begin{equation}
 \mathcal{C}\ddot\theta-\frac{3}{2}\left(2mR_s^2\right)\frac{\mathcal{G}m_p}{r^3}\sin{2\psi}=0
\end{equation}
 $\mathcal{B}-\mathcal{A}=2mR_s^2$ �Ȃ̂ŁA��(5.49)�Ɠ��l�̂��̂��ł����B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=10cm,clip]{5_7.eps}
 \end{center}
 \caption{���a�̔��Α��ɓ�̎��_�����鋅�̂ɂ��A�l�d�Ɏq���[�����g�����q���̊T�v�B��̎��_���q�������a�͊������[�����g���ŏ��̎��ƒ�`���A����͘f���]�q���Ԃ̒����Ɗp�x $\psi$ ���Ȃ��B�i�}5.6�Q�Ɓj}
\end{figure}
%


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
