%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ �Έ� �q } % �����̖��O
\Ddate{ 2004/11/15 } % �쐬��
\Dfile{ sec0501.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{4}    % (�͔ԍ� -1) �������
\setcounter{subsection}{0} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{0}  % 
\setcounter{equation}{0}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{0}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
% ��������{���������ĉ�����.
\section{���]�ƋO���̌���} 
\subsection{���_}

�O�͂ł́A�q�����������]��ԁi���Ȃ킿�A�q���̎��]���������̌��]����
�ɓ�������ԁj�ɂ���Ɖ��肵���ꍇ�́A�f���ɂ���ĉq���ɐ����钪����
���ʂɂ��čl�����B1.6�߂ŏq�ׂ��悤�ɁA���z�n���̎�v�ȓV�R�ȉq��
�̂قƂ�ǂ͓�����Ԃŉ�]���Ă���Ɗϑ�����Ă���B���̂悤�ȏ󋵂�
�ǂ̂悤�ɂ��ċN�����̂��H�܂��A�����̉q���̎��]����]�O���͉���
����Č��܂�̂��낤���H���̏͂ł́A�q���̎��]�ɂ����钪���g���N��
�e�����A����ɐi��Œ��ׂ邱�Ƃ���n�߂悤�B���̕��͂́A�Ⴆ�΂Ȃ���
�͂��̓������]�O�������ێ����邽�߂ɉi�v�l�d�Ɏq���[�����g��������
���Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��̂��A�Ƃ������Ƃ𖾂炩�ɂ���B���̌n�ɂ����邱��
�t���I�ȃg���N�̌��ʂ̌��ʂ͎��ɒ��ׁA���z�n�ɂ����鎩�]�O�����Ɋ�
����T�O�ւ̈�ʓI�ȃA�v���[�`�𓱂��B�܂������̋��̋N���ƈ��萫
�ɂ��Ă��c�_����B

\subsection{�����ɂ�鎩�]���x�̕ω�}

�q�����f���̎����ȉ~�O���ŉ���Ă���ꍇ���l����B$\dot{\eta} +n$
�Ŏ������q���̎��]���x�́A���̊p���x�A���Ȃ킿�^�ߓ_���p�̕ω��̊���
$\dot{f}$�����������i�������͑傫���j�B���̊T�v��}5.1a�Ɏ����B�q
���𒆐S�Ƃ��A�q���̕��ω^��$n$�ŉ�]������W�n�ɕϊ�����ƁA���̂Ƃ�
���̉�]�n�ł́A�f����$2:1$�̑ȉ~�i4.10�ߎQ�Ɓj�Ő}5.1b�̂悤��
guiding centre�̎�����ړ�����B��]���W�n�ɂ�����q���̉�]���x��
$\dot{\eta}$�ŁA$\langle \dot{\eta} \rangle =0$�̏ꍇ�͓���
���]�O����Ԃɂ�����B

Fig.5.1�ŁA���S��$e$�������Ȓl�̏ꍇ�A�p�x$\varphi$�͎��̂悤�ɕ\����
��B
\begin{equation}
  \varphi \approx 2e\sin{nt}
\end{equation}
���������āA$\dot{\varphi}$�͎��Ԃ̊֐��ŁA�f����$2:1$�ȉ~�̎����
�����ɂ�ĕ������ς��B����$\dot{\varphi} <2en$�Ȃ�΁A���̂Ƃ�
�q�����ߓ_�ipericentre�j�ɋ߂��ʒu�ɂ���Ȃ�$\dot{\varphi} >
\dot{\eta}$�ƂȂ肤��B�}5.2a�́A���̊p�x��$\dot{\eta}$�̒l��
�����Ă���ꍇ�ŁA�e���|�����Ă��镔���Ŏ�����Ă���B���̕����ł́A
�f���̒x��ɂ���āA�q���ɉq���]�f���Ԃ̃��C���i�}4.12�Q�Ɓj���x��
�Ē������N���A�����͉q����$\dot{\eta}$�𑝉�������悤�ɓ����A�q��
�̎��]�͑����Ȃ�i�}5.2a�Q�Ɓj�B$\dot{\varphi} < \dot{\eta}$�̉e��
�Ȃ��Ă��Ȃ������ł́A���̏󋵂͋t�ɂȂ�A�q���ł̒����͉q���]�f����
�̃��C���i�}4.6�Q�Ɓj���O�ɐi��ł���B���̏ꍇ�A���̌��ʐ�������
���͉q���̎��]�Ƀu���[�L�������A$\dot{\eta}$������������i�}5.2b
�Q�Ɓj�B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=8cm,clip]{5_1.eps}
 \end{center}
 \caption{(a)�������W�n�̉q���̋O���͘f�������S�ł���B�e�ɂȂ��Ă��Ȃ�����
�͊�����Ԃł̉q���̎��]���x��$\dot{\eta} +n>\dot{f}$�̋O���̕����ł���B
(b)�q���𒆐S�Ƃ��ĕ��ω^��$n$�ŉ�]���Ă�����W�n�ł̘f���̋O���B�e�łȂ���
���͐^�ߓ_���p��$\dot{\eta} >\dot{\varphi}$�̂Ƃ��ł���B}
\end{figure}
%

4.3�߂Œ��ׂ����̏󋵂̗ގ�������A�����g���N���q���̎��]��ω�����
�铭���́A
\begin{equation}
  N_s =-D\left( \frac{a}{r}\right) ^6 sign
       (\dot{\eta} -\dot{\varphi})
\end{equation}
�ŁA�����ŁA
\begin{equation}
  D=\frac{3}{2} \frac{k_2}{\mathcal{Q} _s} 
                \frac{n^4}{\mathcal{G}} R_s^5
\end{equation}
�ŁA���̒萔�ł���B$\mathcal{Q} _s ,k_2 ,R_s$�́A���ꂼ�꒪��
�U��֐��A���u���A�q���̔��a�ł���B���̃g���N�͉q���̎��]���x
$\dot{\eta}$�𑝉�������悤�ɓ����B���σg���N
$\langle N_s \rangle$�����߂�ɂ́A�q���̈���ɂ킽����$N_s$��
���ς��Ƃ�K�v������B�����q�����������]�i$\dot{\eta} =0$�j���Ă�
��悤�ȓ���ȏꍇ���l����Ȃ�A���̂Ƃ��g���N�͑ȉ~�̒��S�ɋ߂��ʒu�Ȃ琳�A�����ʒu�ł͕��ł���i�}5.3a�Q�Ɓj�B�f����$2:1$�̑ȉ~�̔���
���𓯂����Ԃ���������B�������Ȃ���A�߂��ʒu�ł͓��a�����͏�����
�̂ŁA���σg���N�͐��ŁA�q���̎��]���x�𑝉�������悤�ɓ������낤�B
���σg���N���[���ŕ��t�ɂȂ邽�߂ɂ́A�K���i$\dot{\eta} >0$�j�ƂȂ�B
���̏ꍇ�A�g���N�̕�����$2:1$�ȉ~�̒��ԓ_�ł͋t�ɂȂ�Ȃ��B�܂��A�f��
�O���̉e�̕����̃g���N�̓����́A�e�łȂ������������������Z�����Ԃ�
�����̂ŁA�g���N�͕��t�ɒB����i�}5.3b�Q�Ɓj�B

���̋c�_����A������Ԃ͈���ł͂Ȃ��q���̎��]����������悤�ɓ�����
�z�������B�������ꂪ�����Ȃ�A�Ȃ������̉q�����������]���Ă���Ɗϑ�
����Ă���̂��낤���H���̓����͑��̃g���N�������Ă��邩��ŁA�Ȃ��Ȃ�
���̏ꍇ�̂悤�ɂقƂ�ǂ̉q�������Ȃ��Ƃ������I�ɂ͌ő̂ŁA���i�v�I
�ȗ��N�������͋��̂���̂���̂悤�ȉi�v�l�d�Ɏq���[�����g��������
�ł���B�l�d�Ɏq���[�����g�̉e���𒲂ׂ�O�ɁAGoldreich(1966)�ɏ]
���āA�i�v�ό`���l�����ɕ��t���]���x���v�Z����B
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=8cm,clip]{5_2.eps}
 \end{center}
 \caption{(a)$\dot{\varphi} >\dot{\eta}$�̉e�ɂȂ��Ă��镔���ł́A�q����
�����͘f���̒x��ɂ���ĉq���f���Ԃ̃��C�����x��Đ����i�_���͒����o���W��
���������Ă���j�A���̌����͉q���Ɏ��]���x�𑝉�������悤�ɓ����B(b)$
\dot{\varphi} <\dot{\eta}$�ł��鑼�̂��ׂĂ̋O���̕����ł́A�����o���W�͉q��
�f���ԃ��C�������O�ɉ^�΂�A�q���̎��]�Ƀu���[�L��������B}
\end{figure}
%

$\dot{\eta} =\dot{\varphi}$�������͎��̎��ŗ^������悤�ȓ�_�ł͎�(5.2)
�̕����͋t�ɂȂ�B
\begin{equation}
  \dot{f} =\dot{\eta} +n
\end{equation}
�����ߓ_�̒ʉߎ��Ԃ�$t=0$�ŁA$t=\pm T$�ŕ������t�]����Ȃ�
\begin{equation}
  f \approx nt+2e\sin{nt} +\frac{5}{4} e^2 \sin{2nt}
\end{equation}
����A
\begin{equation}
  \dot{\eta} =2en\cos{nT} +\frac{5}{2} e^2 n\cos{2nT}
\end{equation}
�̂Ƃ��ɕ������t�]����B���̎��Ԃ�
\begin{equation}
  f=\pm \left( \frac{\pi}{2} -\delta \right)
\end{equation}
�ƕ\����Ƃ���B���̂Ƃ�
\begin{equation}
  \sin{\delta} =\cos{f} =\cos(nT+2e\sin{nT}) 
                        =\cos{nT} -2e\sin^2{nT}
\end{equation}
��(5.6)���
\begin{equation}
  \cos{nT} =\frac{\dot{\eta}}{2en} -\frac{5}{4} e\cos{2nT}
\end{equation}
���������āA$\mathcal{O} (e)$�܂łƂ��
\begin{equation}
  \sin{\delta} =\frac{\dot{\eta}}{2en} -\frac{5}{4} e
                +\frac{1}{2} e\sin^2{nT}
\end{equation}
%
\begin{figure}[t]
 \begin{center}
  \includegraphics[width=8cm,clip]{5_3.eps}
 \end{center}
 \caption{(a)����$\dot{\eta} =0$�Ȃ�A�����g���N�͘f���O���ɋ߂��ꏊ�ł�
���ŋ����A�����ꏊ�ł͕��Ŏア�B���������čŏI�I�ȉq���̃g���N�̌��ʂ͐��ŁA
�q���̎��]���x�͑�������B(b)���t�̏ꍇ�A$\dot{\eta} >0$�ŁA�q���̒����g��
�N�̕����͉��_(apocebtre)���ߓ_�ɋ߂��ʒu�ŋt�ɂȂ�B���̋����g���N�i�e��
�����j�́A���̎ア�g���N���Z�����Ԃœ����B}
\end{figure}
%
�q���ɓ����Ă��镽�ϒ����g���N��
\begin{equation}
\begin{split}
  \langle N_s\rangle &=-\frac{nD}{2\pi} \int_0^{2\pi}
                       \left( \frac{a}{r}\right) ^6 
                       sign(\dot{\eta} -\dot{\varphi})  \\
                     &=-\frac{D}{2\pi} \int_0^{2\pi}
                       \left( \frac{a}{r}\right) ^4 
             \frac{sign(\dot{\eta} -\dot{\varphi})}{(1-e^2)^{1/2}} 
                       d\, f
\end{split}
\end{equation}
�ŗ^������B�����̕ω����l������Ύ��̂悤�ɕό`�����B
\begin{equation}
\begin{split}
  \langle N_s\rangle &=+\frac{D}{\pi} \int_0^{(\pi /2)-\delta}
                       (1+4e\cos{f})d\, f
                       -\frac{D}{\pi} \int_{(\pi /2)-\delta}^{\pi}
                       (1+4e\cos{f})d\, f \\
                     &=+\frac{2D}{\pi} (4e\cos{\delta} -\delta)
\end{split}
\end{equation}
���t��ԂȂ̂ŁA$\langle N_s\rangle =0$��
\begin{equation}
  \delta =4e\cos{\delta} \approx 4e
          \left( 1-\frac{1}{2} \delta ^2\right) \approx 4e
\end{equation}
�ƂȂ�B����Ǝ�(5.5)��(5.7)���A���̂悤�Ȋ֌W���o�āA
\begin{equation}
\begin{split}
  \sin{nT} &\approx \sin{f} \approx \sin[\pm (\pi /2-\delta)] \\
           &=\cos{delta} \approx \cos{4e} \approx 1-8e^2 \\
           &\approx 1
\end{split}
\end{equation}
��(5.10)�ɑ������΁A���̌��ʂ𓾂�B
\begin{equation}
  \dot{\eta} =\frac{19}{2} e^2 n
\end{equation}
���̂悤�ɁA�i�v�l�d�Ɏq���[�����g���l���Ȃ���΁A�Ⴆ�Ό��ł́A�ϑ����ꂽ
�������x����3���������]���A2.6�N�����Č��̗��ʂ������Ă��܂����낤�B

���̑O�u���̉ۂ��I����O�Ɏ�(5.2)�ŁA�����o���W�����̒x��p������
MacDonald(1966)�̃��f�����g���āA�����x��̉e�����������������Ƃ������Ƃ�
�������Ă����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ��B���������|�e���V�������t�[���G���ԋ����ɓW�J����
�A�����̂��ꂼ��̐��������̈ʑ��̂���ɂ���ė^������Darwin(1908)��
�莮����I�񂾂Ȃ�A���ʂ͂��Ȃ��������̂ɂȂ邾�낤�B
Goldreich��Peale(1966)�̘_���ł��̏ڍׂɂ��ċc�_����Ă���B
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
