%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ ��R ���� } % �����̖��O
\Ddate{ 2004/06/04 } % �쐬��
\Dfile{ sec0410.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{4}    % (�͔ԍ�) �������
\setcounter{subsection}{9} % (�ߔԍ� -1) �������
%\setcounter{footnote}{0}  % 
\setcounter{equation}{167}   % (���ԍ� -1) �������
%\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{12}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
\subsection{Satellite Tides} % �߂̃^�C�g��
% ��������{���������ĉ�����.


�����܂ł́C
�q���͐ԓ��ɕ��s�ȉ~�O��������Ɖ��肵�Ă����D
���̉���́C
�������]�ω��̃^�C���X�P�[���𐄒肷��̂ɂ͏\���ł���C
�启�ɋ߂��q���ɂ����Ă����̃^�C���X�P�[����
���z�n�̔N������\���ɏ������Ƃ������Ƃ�
�\4.1�Ŏ�����錋�ʂɂ���Ď������D

�������Ȃ���C
�q���̋O�����ȉ~�O���ł���ƁC
�����i���͉q�����������](���Ȃ킿$\Omega_s = n$)
�ɒB���Ă��I��Ȃ��D
�f���ɂ���ĉq���ɋN���钪���ɂ��C
�q���̓����ł̒����U��ɂ���āC
�q�����M�����C
�O�����~��ɂȂ邱�Ƃ�����D
����P�[�X�ł́C���̂��Ƃɂ��
�L�͈̗͂Z���⑾�z�n�̒��ōł����I�ȉΎR������
�����Ă���D


���S���̌�������^�C���X�P�[���́C
���G�l���M�[$E$�̎U��̊������琄�肷�邱�Ƃ��ł���D
������$E = - \mathcal{G} m_p m_s / 2a < 0 $�ł���D
���̏ꍇ�C
�f���͎��_�Ƃ��Ĉ����C
�n�̑��p�^����$L$�͋O���̊p�^����$L_{\mathrm{orbital}}$��
�����q���̎��]�̊p�^���ʂ̘a�ł���C
�ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{equation}   %%%168%%%
	L = \frac{m_p m_s}{\bigl(m_p + m_s\bigr)}a^2 n\Bigl(1 - e^2\Bigr)^{1/2} + \alpha_s m_s C_s^2 n
	\label{168}
\end{equation}
�������Ȃ���C
$a^2 \gg  C_s^2$�ł���ƁC
�q���̎��]�̊p�^����(�����ăG�l���M�[)�͖����ł��āC
�ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{equation}   %%%169%%%
	e^2 = 1 + \frac{2 E L_{\mathrm{orbital}}^2 }{\mathcal{G}^2} \frac{(m_p + m_s)}{(m_p m_s)^3}
	\label{169}
\end{equation}
�p�^���ʂ͕ۑ������̂ŁC
$\dot{L}_{\mathrm{orbital}} = 0$�ł���C����������
\begin{equation}   %%%170%%%
	\dot{e} = - \frac{\dot{E}}{2eE} \bigl( 1-e^2 \bigr) \approx - \frac{\dot{E}}{2eE}
	\label{170}
\end{equation}
�����U���q�͑S�ĎU��I�ł���̂ŁC$\dot{E} < 0$�ł���C
����̂ɉq���ɓ��������͏��
�O���̗��S���Ɣ����������������C����ŕ��ω^������������D


�����ŁC
�ȉ~�O�������铯���q���ɂ���Đ�����
�����|�e���V�������l���邱�Ƃɂ���āC
�f���Ɖq���̊Ԃ�
�������ݍ�p�̐��������߂悤�D
�f���𒆐S�ɌŒ肵�����W�n�Ō���ƁC
�q���͘f�����œ_�̂ЂƂƂ���ȉ~�O��������(�}4.13a)�C
�܂��q���̎��]���͋O���ʂɐ����ł���Ɖ��肷��D
2.5�߂̌��ʂ�p����ƁC
�ߓ_(pericentre)�̎���$t$���
�q���̋O�����a�͈ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}   %%%171%%%
	r = a(1 -e\cos E) \approx a(1 -e\cos nt)
	\label{171}
\end{equation}
���a�x�N�g���Ɖq���Ƌ�̏œ_�����Ԑ��Ƃ������p��
$\varphi$�Ƃ����(�}4.13a)�C
�����藝�ɂ��C
\begin{equation}   %%%172%%%
	 \frac{\sin \varphi}{2ae} =  \frac{\sin f}{2a-r}
	\label{172}
\end{equation}
�𓾂�D������$f$�͐^�ߓ_���p�ł���D
����̂ɁC
\begin{equation}   %%%173%%%
	\sin \varphi=   \frac{2e}{1 + (1-r/a)}\sin f \approx 2e\sin nt + \mathcal{O}(e^2)
	\label{173}
\end{equation}
2.6�߂Ō���ꂽ�悤�ɁC
$\mathcal{O}(e^2)$�̍��𖳎�����ƁC
�������]����q���͋O���̋�̏œ_�ɏ�ɓ����ʂ�������(�}4.13a)�D
�����n���l����ƁC
�ő̂̉q���𒆐S�ɌŒ肳��q���Ƌ��Ɏ��]������W�n�ł̘f���̍s�����l���āC
�}4.13b�Ɏ������z�u�𓾂�D
���̎��_����́C
�f����
�q���̐ԓ��ʂɂ��āC
������$2ae$�Ɣ��Z��$ae$�̑ȉ~�O��������
�����guiding centre approximaton�ł���(2.6��)�D


%%%%%%%figure 4.13%%%%%%%
\begin{figure}[tbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=12cm,height=5.24577cm]{./figure/4_13.jpg}
\end{center}	
	\caption{
	(a)�f���𒆐S�ɌŒ肵���Ƃ��́C�q���̑ȉ~�O���̍s���D
	�q���͋O���̋�̏œ_�Ɍ�����ɓ�����(���}�[�N)��������D
	(b)�q���𒆐S�ɌŒ肳��q���Ƌ��Ɏ��]������W�n�ł̘f���̍s���D
	$e$�̒l�͏������̂ŁC�f���͂���guiding centre $G$�ɂ��āC
	�������Ɣ��Z���̔䂪2:1�̑ȉ~�O��������D}
	\label{figure.4.13}
\end{figure}

�q���𒆐S�Ƃ����ɋ����W�n��p��(�}4.14)�C
�ɋ����W($C_s , \theta , \phi$)�ł���q���\�ʏ�̂���_$P$�ɂ�����
�|�e���V�������v�Z����D
������$\theta$��
�q���̎��]������Ƃ����]�ܓx�ł���C
$\phi$�͉q���̒��S�Ƙf���O����guiding centre $G$�����Ԑ�$OX$
����Ƃ����o�x�ł���D
$\alpha$��
$P$�̈ʒu�x�N�g���ƁC�q���Ƙf�������Ԑ��̊Ԃ̊p�x�Ƃ��C
$\Delta$��
$P$�Ƙf���Ԃ̋����Ƃ���D
�p�x$\psi$��
$P$�̈ʒu�x�N�g����$X-Y$���ʂւ̎Ήe�ƁC
�q���Ƙf�������Ԑ��̊Ԃ̊p�x�ŁC
$\psi = \phi - \varphi = \phi -2e\sin nt$�ł���C
������
$\phi$��$P$�̌o�x�ł���(�}4.14�Q��)�D
�p�x$\alpha$�C$\theta$��$\psi$�͈ȉ��̂悤�Ɋ֌W�t������D
\begin{equation}  %%%174%%%
	\cos \alpha = \sin \theta \cos \psi \approx \sin \theta \cos (\phi - 2e\sin  nt)
	\label{174}
\end{equation}
���������āC
\begin{equation}  %%%175%%%
	\cos \alpha \approx \sin \theta (\cos \phi + 2e\sin \phi \sin nt)
	\label{175}
\end{equation}
�ƂȂ�D

\clearpage

%%%%%%%figure 4.14%%%%%%%
\begin{figure}[tbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=12cm,height=4.75906cm]{./figure/4_14.jpg}
\end{center}	
	\caption{�ΐS�O�����Ƃ铯���q���ɋN���钪���̌v�Z�ɗp������􉽊w�D
	���W�n�͉q���𒆐S�ɌŒ肳��C�q���Ƌ��Ɏ��]���Ă���C
	�f���̍s���͉q���̐ԓ�(�O��)�ʏ�̑ȉ~�ł���D
	}
	\label{figure.4.14}
\end{figure}

�_$P$�ł̃|�e���V�����̎��𓾂āC
�q���ɒ����͂������N�������𔲂��o�����Ƃ��ł���D
�|�e���V�����͈ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}  %%%176%%%
	V = - \frac{\mathcal{G}m_p}{\Delta}
	\label{176}
\end{equation}
�}4.14����C
�]���藝�Ǝ�(4.171)�̋ߎ���p����
\begin{eqnarray}  %%%177%%%
	\Delta ^2 &=& C_s^2 + r^2 -2rC_s\cos \alpha \nonumber \\
			& = & C_s^2 + a^2(1 - 2e\cos  nt)) -2aC_s(1 - e\cos  nt)\cos \alpha
	\label{177}
\end{eqnarray}
�܂�
\begin{eqnarray}  %%%178%%%
	\Delta  = a \Biggl[1 - 2e\cos  nt + \biggl( \frac{C_s}{a}\biggr)^2 -2 \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)(1 - e\cos  nt)\cos \alpha  \Biggr]^{1/2}
	\label{178}
\end{eqnarray}
�𓾂�D
$\Delta$���ȉ��̂悤�ɏ���
\begin{equation}  %%%179%%%
	\Delta = a(1-x)^{1/2}
	\label{179}
\end{equation}
������
\begin{equation}  %%%180%%%
	x = 2e\cos nt - \biggl( \frac{C_s}{a}\biggr)^2 + 2 \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)(1 - e\cos  nt)\cos \alpha
	\label{180}
\end{equation}
�ł���C�����ʂł���D
���̂Ƃ�
\begin{equation}  %%%181%%%
	\frac{1}{\Delta} = \frac{1}{a} \biggl( 1+ \frac{1}{2}x + \frac{3}{8}x^2 +\frac{5}{16}x^3 + \cdots \biggr)
	\label{181}
\end{equation}
�ƂȂ�D
$x^2$��$x^3$�̎����v�Z����̂ɂ����āC
$e^2$��$(C_s / a)^3$���܂ލ��͖�������
��(4.181)�ɑ�����C�ȉ��𓾂�D
\begin{eqnarray}  %%%182%%%
	\frac{1}{\Delta}  = \frac{1}{a} \! \! \! \!  &\biggl[&\! \! \! \!  1 + e\cos nt + \biggl( \frac{C_s}{a}\biggr)\sin \theta [\cos \phi+2e\cos(\phi- nt) ] \nonumber\\
	& & + \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^2 \frac{1}{2}\bigl( 3\sin ^2 \theta \cos ^2 \phi -1   \bigr) + 3e  \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^2\sin ^2 \theta \sin 2\phi \sin nt \nonumber\\
	& & + 3e \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^2 \frac{1}{2}\bigl( 3\sin ^2 \theta \cos ^2 \phi -1   \bigr) \cos nt\biggr]
	\label{182}
\end{eqnarray}



��(4.182)�̂Ȃ��̍ŏ���2���́C
$P$�̈ʒu����͓Ɨ��ł���C
���ʓI�ɗ͂ɉ��̊�^�������炳�Ȃ��D
4.2�߂ł̋c�_�Ɠ��l�ɁC
$C_s / a$���܂ލ���
�ȉ~�̉^���ɕK�v�ȕ��ς̗͂������炵�C
$(C_s / a)^2$���܂ލ���
�����͂������炷�D
�ȉ��̂悤�ɏ�����
\begin{equation}   %%%183%%%
	\cos \beta = \sin \theta \cos \phi
	\label{183}
\end{equation}
������$\beta$��$P$�̈ʒu�x�N�g���ƁC
$X$���܂�q���̒��S��guiding cetre�����Ԑ�
�̊Ԃ̊p�x�ł���D
���̂Ƃ��|�e���V�����͈ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{equation}   %%%184%%%
	V_s  = - \mathcal{G}\frac{m_p}{a} \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^2 \bigl[\mathcal{P}_2(\cos \beta)+  3e\mathcal{P}_2(\cos \beta) \cos nt + 3e \sin ^2 \theta \sin 2\phi \sin nt \bigr]
	\label{184}
\end{equation}



��(4.184)�̑�1����
���ԂɓƗ��ł���C�~�O���̏ꍇ�̒����|�e���V�����Ɠ������D
���̍��́C�f���O����guiding centre�̕������w���Ώ̎�������
�Œ肳�ꂽ�����o���W�������N�����D
��(4.184)�̑������̍��́C
���ԂɈˑ����Ă���C
�O���̕ΐS���̌��ʂł���D
��2���͑�1���̐U���̎��ԕω��������N�����D
�����\textbf{radial tide}�ł���D
��3����\textbf{librational tide}�ł���D
�q���ł�radial tide�́C
�ω�����q������f���ւ̋��������炩�ȋN���ł���D
�������Ȃ���C
�����悤�ɏd�v��librational tide�͈ȉ��̎�������N����D
�q������̏œ_�ɏ�ɓ����ʂ������Ď��]���Ă������ŁC
�q���̒����o���W�̎��͏�ɘf���Ɍ����Ă���C
���̂��Ƃɂ�蒪���o���W�͉q���̕\�ʂ�
�U���܂��͔���������̂ł���D
�����̒����͗����Ƃ��C
���ꂼ��̐U���ɂ���Č��߂��銄���ł�
�q���ɂ�����G�l���M�[�̎U��
�Ɋ�^����D



�����45�����炵�ĐV���Ȍo�x$\Phi = \phi - \pi /4$�ƁC
$P$�̈ʒu�x�N�g���ƐV���Ȋ���Ƃ̊Ԃ̐V���Ȋp�x$\beta^{\prime}$
�𓱓�����ƁC
�|�e���V�����͈ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{eqnarray}  %%%185%%%
	V_s  = - \mathcal{G}\frac{m_p}{a} \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^2 \! \! \! \! &\bigl[&  \! \! \! \! \mathcal{P}_2(\cos \beta)+  3e\mathcal{P}_2(\cos \beta) \cos nt \nonumber \\
	\ \ & + & \! \! \! \!  4e\mathcal{P}_2(\cos \beta ^{\prime} ) \sin nt -e \bigl( 3 \sin ^2 \theta  - 2 \bigr) \sin nt \bigr]
	\label{185}
\end{eqnarray}
����͎��ۂɂ݂��̒��������邱�Ƃ������Ă���D
�U��$3e$��radial tide�C
radial tide�̑Ώ̎���45�����炵���U��$4e$��librational tide�C
�����ĎO�ڂ̒����͎��]���ɑΏ̂Ȓ����ł���
(Longuest-Higgins 1950)�D
����2�̒����́C�����ʑ��œ����C
�ЂƂ�librational tide�Ƃ݂Ȃ����D
�������Ȃ���C
librational tide��radial tide�̎��ԕω���
$\pi / 2$�̈ʑ��̂��ꂪ����
���Ƃɒ��ӂ��ꂽ���D
�q���̐ԓ��ʂɂ����邱���̒����ω��̎��ԕω��͐}4.15�Ɏ�����Ă���D



%%%%%%%figure 4.15%%%%%%%
\begin{figure}[tbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=12cm,height=4.43076cm]{./figure/4_15.jpg}
\end{center}	
	\caption{�ԓ���$(\theta = \pi / 2)$�ɂ����铙�|�e���V�����̕����D
	(a)radial tide�C(b)librational tide�ŁC���ꂼ��O�����ΐS���Ă��邱�Ƃɂ����
	�q���Ɉ����N�������D������̏ꍇ���C���͘f���̕����������Ă���D
	}
	\label{figure.4.15}
\end{figure}


�q���̔M�����銄����
�O�����S���̌����̃^�C���X�P�[���������C
�q���ɂ����钪���U��ɂ��
�O���̃G�l���M�[�̑����̊���
$\dot{E}$�ɂ���Ċ��S�Ɍ��߂���D
�������Ȃ���C
�����U��̃��J�j�Y���ɂ��Ă������̉�����������Ƃɂ���Ă̂݁C
���̖��ɂ��Ă���Ȃ�i�W�𓾂邱�Ƃ��ł���D
�q���̒����U��֐�$Q_s$���U���ƐU��������Ɨ��ł���Ɖ��肷��ƁC
����͗Ⴆ�Όő̂̉q���ɂ����ĎU��̌������ア���C�ł���ꍇ��
���Ă͂܂邪�C
�q���̒����U���q�͐��`�I�ŁC
radial tide��librational tide�̉e����ʁX�Ɍv�Z���邱�Ƃ��ł��C
�P���ɑ������킹�邱�Ƃ��ł���D


����̂ɁC
��X��$\dot{E}$�𐄒肷��ŏ��̕��@��
��肪���`�I�ł���Ƃ��ɂ̂ݗL���ł���C
radial tide��librational tide�ɂ����Ē~������G�l���M�[�����߂邱�ƂƁC
$Q_s$�̒�`����$\dot{E}$���v�Z���邱�Ƃ𔺂��D
�U��̃��J�j�Y���̐������킩���Ă��Ȃ��Ƃ�
�܂�
�����U��̃��J�j�Y���ɂ��Ă̕s�m������
$Q_s$�̒��ɖ�����Ă���ꍇ��
�I�ԕ��@�ł�����D
��(\ref{138})
\footnote{��(\ref{138})
$
Q = \frac{2\pi E_0}{\Delta E}
$
}
����C�ȉ��𓾂�D
\begin{eqnarray}  %%%186%%%
	\dot{E} = \frac{n \Delta E}{2\pi} = \frac{nE_0}{Q_s}
	\label{186}
\end{eqnarray}
���̏ꍇ�C�����U�����͕��ω^��$n$�ɓ������D
���z�n�̌ő̉q���ł́C
�X�q��($\mu = 4 \times 10^9$Nm$^{-2}$�C���x$\rho \approx 1$g cm$^{-3}$)�ł�
��Ήq��($\mu = 5 \times 10^{10}$Nm$^{-2}$�C���x$\rho \approx 3$g cm$^{-3}$)�ł�
�e���͂Əd�͂̔��$\tilde{\mu_s} \approx (10^4$km/C$_s)^2 \gg 1 $�ł���D
����̂ɁC
�����ό`�ɂ����Ē~������G�l���M�[�́C
�قƂ�ǂ��e���ɂ����̂ł���C
�d�̗͂v�f�͖����ł���D
radial tide�Ɋւ���ό`�݂̂��l���āC
�ȉ��̂悤�ɏ����ƁC
\begin{eqnarray}  %%%187%%%
	R({\beta}) = C_s [1 + \epsilon \mathcal{P}_2(\cos \beta)]
	\label{187}
\end{eqnarray}
������$\epsilon \mathcal{P}_2(\cos \beta)$��
�c�݂̑傫���ŁC
���̂Ƃ����̘c�݂�ۂ��߂ɕK�v��
�q���̕\�ʂ̒P�ʖʐςɓ����͂�
$(19/5)\mu\epsilon \mathcal{P}_2(\cos \beta)$�ł���
(��(4.75)�Q��)
\footnote{��(4.75)
$\Delta R(\psi) = \frac{5}{19} \frac{A}{\mu} X \mathcal{P}_2(\cos\psi)$
}
)�D
�c�݂𑝉�������e���͂ɑ΂���
�[�����炠��ő�l$\epsilon_{\mathrm{max}}$�܂�
�Ȃ����d����
�ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{eqnarray}  %%%188%%%
	W = \int _0 ^{\epsilon_{\mathrm{max}}} \frac{19}{5} \mu \epsilon C_s [\mathcal{P}_2(\cos \beta)]^2d\epsilon = \frac{19}{10} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 C_s [\mathcal{P}_2(\cos \beta)]^2
	\label{188}
\end{eqnarray}
���������āCradial tide�Ɋւ��Ē~������ő�̃G�l���M�[�͈ȉ��̂悤�ɗ^������D\begin{eqnarray}  %%%189%%%
	E_{\mathrm{radial}} = \frac{19}{10} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 C_s \int [\mathcal{P}_2(\cos \beta)]^2 dA
	\label{189}
\end{eqnarray}
�����Őϕ��͋��ʂɂ킽���ĂȂ����D
radial tide�͑Ώ̎��������Ă���̂ŁC
�ʐϗv�f$dA$�͈ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{eqnarray}  %%%190%%%
	dA = 2\pi C_s^2 \sin \beta d \beta
	\label{190}
\end{eqnarray}
���������āC
\begin{eqnarray}  %%%191%%%
	E_{\mathrm{radial}} = \frac{19}{5} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 \pi C_s^3 \int _0 ^{\pi} [\mathcal{P}_2(\cos \beta)]^2 \sin \beta d \beta = \frac{57}{50} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2  \mathcal{V}_s
	\label{191}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�C������$\mathcal{V}_s = (4/3)\pi C_s^3$
�͉q���̑̐ςł���D
�q�����ő̂Ȃ̂ɂ�������炸�C
�`���̉ߒ��܂��͌ő̓V�̗̂����ɂ��ɘa�ɂ����
���ϓI��radial tide�Ɋւ���c�݂͖����Ɖ��肵�C
�܂����ό`��̂܂��ŉq���̌`��
�U�����邱�Ƃɂ���Ęc�݂��N����Ɖ��肷��D
���̏ꍇ�C��(4.13)
\footnote{��(4.13)
$\zeta = \frac{m_s}{m_p}\Bigl( \frac{R_p}{a} \Bigr)^3R_p $
}
�C��(4.77)
\footnote{��(4.77)
$\tilde{\mu} = \frac{19\mu}{2 \rho g_c A}$
}
�C��(4.89)
\footnote{��(4.89)
$A S_2 = \frac{(5/2)\zeta}{1 + \tilde{\mu}}$
}
�Ǝ�(4.185)����
�ȉ��̂悤�ɂȂ�D
\begin{eqnarray}  %%%192%%%
	\epsilon _{\mathrm{max}} = 3e\frac{(5/2)\zeta}{\tilde{\mu_s}C_s}
	\label{192}
\end{eqnarray}
�������(4.191)�ɑ�����Ĉȉ��𓾂�D
\begin{eqnarray}  %%%193%%%
	E_{\mathrm{radial}} = \frac{27 e^2}{4\tilde{\mu_s}} \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^5\frac{\mathcal{G}m_p^2}{a}
	\label{193}
\end{eqnarray}



librational tide�Ɋւ��G�l���M�[$E_{\mathrm{librational}}$
�����l�̕��@�Ōv�Z�����D
��(\ref{184})�Ǝ�(\ref{189})���悭���Ă݂�ƁC
�ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{eqnarray}  %%%194%%%
	E_{\mathrm{librational}} = \frac{19}{10} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 C_s \int \bigl[\sin ^2 \theta \sin 2\phi \bigr]^2 dA
	\label{194}
\end{eqnarray}
���̏ꍇ�C�ʐϗv�f��$dA = C_s^2 \sin \theta  d\theta d\phi$�ł���D
���������āC�ȉ��̂悤�ɂȂ�C
\begin{eqnarray}  %%%195%%%
	E_{\mathrm{librational}} &=& \frac{19}{10} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 C_s^3 \int \bigl[\sin ^2 \theta \sin 2\phi \bigr]^2 \sin\theta d\theta d\phi \nonumber \\
	&=& \frac{19}{10} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 2\pi C_s^3 \int _0^{\pi/2} \sin ^5\theta d\theta  \nonumber \\
	&=&  \frac{4}{3}\frac{57}{50} \mu \epsilon _{\mathrm{max}}^2 \mathcal{V}_s
	\label{195}
\end{eqnarray}
�܂���(\ref{192})����C
\begin{eqnarray}  %%%196%%%
	E_{\mathrm{librational}} = \frac{4}{3} \biggl[ \frac{27 e^2}{4\tilde{\mu_s}} \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^5\frac{\mathcal{G}m_p^2}{a} \biggr]
	\label{196}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�D



�����U��̃��J�j�Y�������`�ߒ����Ƃ���ƁC
�����ό`�ɂ����Ē~������G�l���M�[�̍ő�l�̍��v
$E_0$�͒P����radial��librational�̐����̘a�ƂȂ�D
����̂ɁC
\begin{eqnarray}  %%%197%%%
	\frac{dE}{dt} = - \frac{63 e^2 n}{4\tilde{\mu_s}Q_s} \biggl( \frac{C_s}{a} \biggr)^5\frac{\mathcal{G}m_p^2}{a} 
	\label{197}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�D
�������(\ref{170})
\footnote{��(\ref{170})
$$
\dot{e} = - \frac{\dot{E}}{2eE} \bigl( 1-e^2 \bigr) \approx - \frac{\dot{E}}{2eE}
$$
}
�ɑ�����C
���S���̌�������^�C���X�P�[���͈ȉ��̂悤�ɂȂ�(Yoder �� Peale 1981)�D
\begin{eqnarray}  %%%198%%%
	\tau _e = - \frac{e}{\dot{e}} =  \frac{4}{63}\frac{m_s}{m_p}\biggl( \frac{a}{C_s} \biggr)^5\frac{\tilde{\mu_s}Q_s}{n} 
	\label{198}
\end{eqnarray}
�������̑��z�n�̉q���ɂ�����
�G�l���M�[�̎U�킷�銄����
���S���̌�������^�C���X�P�[���̐���l���\4.2�Ɏ�����Ă���D



�������̕ω��ɉ����āC
�q���ɂ���Ęf���ɋN���钪�����܂��C
�q���̋O���̗��S���𑝂��悤�ɓ����D
�������Ȃ���C
Jeffreys(1961)�ɂ��ƁC
���̑����̑傫���͖����ł���قǂł���D


\setcounter{figure}{1}
%%%%%%%table 4.2%%%%%%%
\begin{figure}[tbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=10cm,height=5.5633cm]{./figure/t4_2.jpg}
\end{center}	
	\caption{�������̉q���ɂ����钪���U��̊�����
	���S���̌�������^�C���X�P�[���D
	�������̒���$\tilde{\mu_s}$��$Q_s$�̒l�͕\4.1�ŗ^����ꂽ�l��p����
	�v�Z��������l�ł���D
	���ɂ�����l��Yoder(1995)�ɂ��D
	}
	\label{table.4.2}
\end{figure}
\setcounter{figure}{15}



%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
