%
% TEX �{���p�t�H�[�}�b�g
%
% �E ���̃t�@�C���̓��C���t�@�C������ǂݍ��܂�邱�ƂŎg�p�����.
%
% �E ���̃t�@�C���P�̂ł̓R���p�C���ł��Ȃ��̂Œ���.
%
%
% 2002/10/09  �X�� ����   �쐬
% 2003/04/15  ���c ��h   ��b�����[�~�p�ɏC��
% 2003/06/05  ���c ��h   �J�E���^�[�� setting �ύX
% 2004/06/04  ��R ����   SSD�p�ɏC��
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\Dauthor{ ��R ���� } % �����̖��O
\Ddate{ 2004/04/30 } % �쐬��
\Dfile{ sec0409.tex } % �t�@�C���̖��O

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%

\setcounter{section}{4}    % (�͔ԍ�) �������
\setcounter{subsection}{8} % (�ߔԍ� -1) �������
\setcounter{footnote}{33}  % 
\setcounter{equation}{132}   % (���ԍ� -1) �������
\setcounter{page}{33}
\setcounter{figure}{11}     % (�}�ԍ� -1) �������

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%
\subsection{Tidal Torques} % �߂̃^�C�g��
% ��������{���������ĉ�����.

�p���x$\Omega$�Ŏ��]����f����
���������q���ɂ���Ĉ����N������钪�����l����D
�q���͐ԓ��ɕ��s�ȉ~�O��������C���ω^����$n$�Ƃ���D
$\Omega \neq n $�ł���ƁC�f���͒����U�����󂯂�D
���܂ł́C�n�ɂ����ăG�l���M�[�͕ۑ������Ɖ��肵�Ă����D
�������Ȃ���C���ۂ�
�����U���͏�ɖ��C���N�����C
���̌��ʃG�l���M�[�̑�����
�f���̒��������ɂ�����ʑ��̂��ꂪ������D

�f���̉�����
�������a�U���q�̉������ׂ�̂͗L�p�ł���D
�^���������͈ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{equation}   %%%133%%%
	m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx -\beta \frac{dx}{dt} + F_0 \cos \omega t
	\label{133}
\end{equation}
������
$x$�͕��t�̔z�u����̕ψʂł���C
$m$�͊������ʁC
\footnote{��������($F=ma$)�͉������ɂ����C�d�͎���($F=GMm/r^2$)�͈����t���������x�D}
$kx$�͕����͂�$k(>0)��$���x�p�����[�^�[�ł���(stiffness parameter)�D
�^���������͈ȉ��̂悤�ɏ������Ƃ��ł���D
\begin{equation}   %%%134%%%
	\frac{d^2x}{dt^2} = -\omega _0 ^2x - \frac{1}{\tau}\frac{dx}{dt} + \frac{F_0}{m} \cos \omega t
	\label{134}
\end{equation}
������$\omega _0 $�͐U���q�̎��R�U�����ŁC
$\tau(>0)$�͌����̃^�C���X�P�[��(damping timescale)�C
$F_0 / m$��$\omega$�́C���ꂼ��O������̋쓮�͂̐U���ƐU�����ł���D
�����ȉ��̂悤�ɒu���D
\begin{equation}   %%%135%%%
	x = A \cos ( \omega t + \delta )
	\label{135}
\end{equation}
��(\ref{134})�ɑ������ƁC�ȉ��̂悤�Ȍn�̒���Ԃ̉�����������D
\begin{equation}   %%%136%%%
	A = (F_0 / m) \biggl[ \bigl( \omega _0^2  - \omega ^2 \bigr)^2 +(\omega / \tau)^2   \biggr]^{-1/2}
	\label{136}
\end{equation}
������$A$�͐��ł���C���̕ψ�$\delta$�͈ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}   %%%137%%%
	\sin \delta =  -(\omega / \tau) \biggl[ \bigl( \omega _0^2  - \omega ^2 \bigr)^2 + (\omega / \tau)^2   \biggr]^{-1/2}
	\label{137}
\end{equation}
���̂悤�ɁC$\delta$�͋쓮�͂̐U����$\omega$�Ɉˑ����Ă��邪�C
�U��$F_0 / m$����͓Ɨ��ł���D
�����͂͏�ɉ^���Ƌt�����Ȃ̂ŁC
$\omega$�̒l�ɂ�炸$\delta$�͕��ɂȂ�($-\pi < \delta \le 0 $)�C
�����͏�ɋ쓮�͂ɒx���
(Baierlein 1983�CFeynman et al. 1963)�D

���ψ�$\delta$��
�U���q��\textbf{����U��֐�(specific dissipation function)} $Q$
�Ɗ֌W�t���邱�Ƃ��ł���
\footnote{Q:�N�I���e�B�t�@�N�^�[�CQ�l�D�n�̖��C���偨�U��偨Q�͏��D�n�̖��C�������U�포��Q�͑�}�D
$Q$�͈ȉ��̂悤�ɒ�`�����D
\begin{equation}   %%%138%%%
	Q = \frac{2\pi E_0}{\Delta E}
	\label{138}
\end{equation}
������$\Delta E$��1�����ŎU�킷��G�l���M�[�ŁC
$E_0$�͒~������ő�̃G�l���M�[�ł���D
�ψ�$\delta x$�ɂ킽����
�����͂ɂ���ĂȂ����d����
$kx \delta x$�ł���D
���������āC�U���q�ɒ~������ő�̃G�l���M�[��
\begin{equation}   %%%139%%%
	E_0 = \int_0^A kxdx = \frac{1}{2}m\omega_0^2A^2 =  \frac{1}{2}\omega_0^2\frac{F_0^2}{m} \biggl[ \bigl( \omega _0^2  - \omega ^2 \bigr)^2 + (\omega / \tau)^2   \biggr]^{-1}
	\label{139}
\end{equation}
����$\delta t$�̊Ԃ�
�ψ�$\delta x$�ɂ킽����
��R��(drag force)�ɂ���ĂȂ����d����
$\beta \dot{x}\delta x$�ł���D
����̂ɁC
�G�l���M�[�U��̊�����$\dot{E} = -\beta \dot{x}^2$�ł���C
��(\ref{135})�����Ԕ�������ƁC
�G�l���M�[�U��̊����̕��ς�$\langle \dot{E} \rangle = (1/2)\beta (A\omega)^2$�ƂȂ�D
1�����ŎU�킷��G�l���M�[��$\Delta E = \langle \dot{E} \rangle(2\pi / \omega)$�ł���D
���������āC
\begin{equation}   %%%140%%%
	\Delta E = \pi \bigl( F_0^2 / m \bigr)(\omega / \tau)\biggl[ \bigl( \omega _0^2  - \omega ^2 \bigr)^2 + (\omega / \tau)^2   \biggr]^{-1}
	\label{140}
\end{equation}
�ƂȂ�D
$\omega_0^2 \gg \omega^2 \gg (\omega / \tau)^2$�ł���Ƃ���ƁC
�n�������牓���Ȃ�C
�����͏������Ȃ�C
�ȉ��̂悤�ɂȂ�D
\begin{equation}   %%%141%%%
	\sin \delta = -1 / Q
	\label{141}
\end{equation}


�����Ȃ�ꍇ�ł��C
�����N������钲�a�U���q�����f���Ƃ��ėp����ƁC
�f���ɂ����钪�������ɂ�����
�������C�̌��ʂ�$\delta$�̕��̕ψʂ�
�����N�������Ƃɂ��Ę_���邱�Ƃ��ł���D
�~�O��������q���́C
�f���ɐU����$2 (\Omega - n)$�̔��������������N����(4.2�ߎQ��)�D
$\Omega > n$(�q���������O������ɂ���)���ƁC
�����o���W�͒������N�����Ă���q������
�p�x$\epsilon$�����O�ɉ^�΂��D
������$2\epsilon = \delta = Q^{-1}$�D
�t�ɁC
$\Omega < n$(�q���������O����艺�ɂ���)�ŁC
�����U��֐�$Q$�͐U���ƐU��������Ɨ��ł���ƁC
�����o���W�͒������N�����Ă���q�����������p�x$\epsilon$������ɒx���
(MacDonald 1964)�D
���̂悤�ɁC
�������C�ɂ���āC�����o���W�̎��͘f���Ɖq���̒��S�����Ԑ��Ƒ���Ȃ��Ȃ�D
���̂��Ƃɂ��C{\bfseries �����g���N(tidal torque)}�C
�����Ęf���Ɖq���̊Ԃ̃G�l���M�[�Ɗp�^���ʂ̗A����������D

�q���ł̃g���N$mathbf{\Gamma}$��
�q���̈ʒu��{\bfseries r }�ł́C�f���̊O���̃|�e���V����$V_{\mathrm{ext}}$��
���z�ɂ���Č��߂��C�ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}   %%%142%%%
	\mathbf{\Gamma =  r \times  F}
	\label{142}
\end{equation}
������
\begin{equation}   %%%143%%%
	\mathbf{F} = - m_s \nabla V_{\mathrm{ext}}
	\label{143}
\end{equation}
�f���Ɖq���̒��S�����Ԑ��Ɛ����ȗ̗͂v�f�ł���
$F_{\psi} = -(m_s / r) (\partial V_{\mathrm{ext}} / \partial \psi)$
�������C
�g���N�Ɋ�^���C
�񒆐S�̘f���̃|�e���V�����ł���$ V_{\mathrm{nc,ext}}$
�������C
���̗̗͂v�f�Ɋ�^����D
���������āC
�q���̃g���N�̑傫���͈ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}   %%%144%%%
	\Gamma = - m_s  \frac {\partial V_{\mathrm{nc,ext}}}{\partial \psi}
	\label{144}
\end{equation}
������
�j���[�g���̉^���̖@������C
���������Ό����̃g���N���f���ɓ����D


�q���������O������ɂ����($\Omega > n$)�C
�����o���W�͉q�����O�ɉ^�΂�(�}4.12a)�C
���̃g���N�ɂ���ĂȂ����d����
�n�̋O���̃G�l���M�[��$\Gamma n$�̊�����
���₷�悤�ɓ����D
�����ɁC
���������Ό����̃g���N��
�f���̎��]�̃G�l���M�[��$\Gamma \Omega$�̊�����
���炷�悤�ɓ����D
$\Omega \neq n$�ł���̂ŁC
�����̎d���̊����͓������Ȃ炸�C
�n�̗͊w�I�G�l���M�[�̍��v$E$�͊���$\dot{E}$�Ō������Ă����D
\begin{equation}   %%%145%%%
	\dot{E} = -\Gamma (\Omega - n) < 0
	\label{145}
\end{equation}
���΂ɁC
�q���������O����艺�ɂ����($\Omega < n$)�C
�����o���W�͉q������ɒx��(�}4.12b)�C
�g���N�̕����͋t�ɂȂ�D
���̏ꍇ�C
�n�̋O���̃G�l���M�[�͌������C
�����
�f���̎��]�̃G�l���M�[�͑�������D
�������Ȃ���C���̏ꍇ��
�n�̗͊w�I�G�l���M�[�̍��v��
�ȉ��̊���$\dot{E}$�Ō������Ă����D
\begin{equation}   %%%146%%%
	\dot{E} = \Gamma (\Omega - n) < 0
	\label{146}
\end{equation}
�ǂ���̏ꍇ��
���̃G�l���M�[��
�f���̓����ŔM�Ƃ��ĎU�킵�C
�O���i���̊��������߂�̂́C
�G�l���M�[�̎U��̊����Ȃ̂ł���D


%%%%%%%figure 4.12%%%%%%%
\begin{figure}[tp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=12cm,height=5.5565cm]{./figure/4_12.jpg}
\end{center}	
	\caption{�����Ȃ�ꍇ�ł��C
�����N������钲�a�U���q�����f���Ƃ��ėp����ƁC
�f���ɂ����钪�������ɂ�����
�������C�̌��ʂ�$\delta$�̕��̕ψʂ������N�����D
�~�O��������q���́C
�f���ɐU����$2 (\Omega - n)$�̔��������������N�������Ƃ������D
(a)$\Omega > n$ �q���������O��(�j��)����ɂ���C
�����o���W�͒������N�����Ă���q������
�p�x$\epsilon$�����O�ɉ^�΂��D
������$2\epsilon = \delta = Q^{-1}$�D
(b)
$\Omega < n$ �q���������O����艺�ɂ���C
�����U��֐�$Q$�͐U���ƐU��������Ɨ����ƁC
�����o���W�͒������N�����Ă���q�����������p�x$\epsilon$������ɒx���
�D}
	\label{figure.4.12}
\end{figure}

�n�̑��G�l���M�[��
�f���̎��]�̃G�l���M�[$\frac{1}{2}I\Omega ^2$
(������$I$�͘f���̊����\��)��
�n�̋O���̃G�l���M�[$\mathcal{G}m_p m_s / 2a$(2.7�� �Q��)
�̘a�ł���D
���������āC
���G�l���M�[�̕ω��̊����͈ȉ��̂悤�ɗ^������D
\begin{equation}   %%%147%%%
	\dot{E} = \frac{d}{dt}  \biggl( \frac{1}{2}I \Omega ^2 - \mathcal{G}\frac{m_p m_s}{2a} \biggr) = I \Omega \dot{\Omega} + \mathcal{G}\frac{m_p m_s}{2a ^2}\dot{a}
	\label{147}
\end{equation}
�P�v���[�̑�O�@����p����
$\mathcal{G} (m_p + m_s) = n^2 a^3$�C
�ł���C�ȉ��𓾂�D
\begin{equation}   %%%148%%%
	\dot{E} =  I \Omega \dot{\Omega} + \frac{1}{2}\frac{m_p m_s}{\bigl(m_p + m_s\bigr)}n^2 a \dot{a}
	\label{148}
\end{equation}
�������Ȃ���C
�͊w�I�G�l���M�[�̈ꕔ�͔M�Ƃ���
�U�킵�Ă��܂��Ă������ŁC
�n�̑��p�^����$L$�͕ۑ�����
\begin{equation}   %%%149%%%
	L  =  I \Omega + \frac{m_p m_s}{\bigl(m_p + m_s\bigr)}a^2 n
	\label{149}
\end{equation}
�ł���D
����̂�
$\dot{L} = 0$�ł���C������
\begin{equation}   %%%150%%%
	I \dot{\Omega} = -\frac{1}{2} \frac{m_p m_s}{\bigl(m_p + m_s\bigr)}n a \dot{a}
	\label{150}
\end{equation}
�ł���D
����$I\dot{\Omega}$�̕\����
��(4.148)�ɑ�����C�ȉ��𓾂邱�Ƃ��ł��C
\begin{equation}   %%%151%%%
	\dot{E} = -\frac{1}{2} \frac{m_p m_s}{\bigl(m_p + m_s\bigr)}n a \dot{a}(\Omega - n)
	\label{151}
\end{equation}
������
$\dot{E} < 0$�Ȃ̂ňȉ��̂悤�ɂȂ�D
\begin{equation}   %%%152%%%
	\mathrm{sign} (\dot{a}) = -\mathrm{sign} (\dot{\Omega}) = \mathrm{sign} (\Omega - n ) 
	\label{152}
\end{equation}


���������āC
$\Omega > n$�Ȃ��
�q���̋O���̔������͑傫���Ȃ�C
�����
�f���̎��]���x�͏������Ȃ�D
����͒n��-���n�ɂ��Ă͂܂�C
���͂������ƒn�����牓�������Ă���C
���
�n���̎��]�����͂������Ƒ������Ă���C
����̒����͒����Ȃ��Ă����Ă���D
���΂ɁC
$\Omega < n$�Ȃ�΁C
�q���̋O���̔������͏������Ȃ�C
�����
�f���̎��]���x�͑傫���Ȃ�D
����͉ΐ��̉q���t�H�{�X�ɂ��Ă͂܂�C
�ΐ��Ɍ������Ă������Ɨ�����ɗ����Ă����Ă���D
�O���i���̃^�C���X�P�[�����v�Z���邽�߂ɂ́C
�����g���N$\Gamma$�̑傫����
�����x��p�ɂ��Ă̎���
�K�v�ł���D

��(4.12)�̂悤��
$V_3(\psi) = - \zeta g \mathcal{P}_2 ( \cos \psi)$
�̑傫���̒����|�e���V�����ɂ����
�ώ��Șf�����ό`����ƁC
�ό`�����f���ɂ�����
����_$P(\psi)$�ł�
�񒆐S�̊O���̃|�e���V������
��(4.54)�ɂ���ė^�����
\footnote{
��(4.54) 
$$
	V_{\mathrm{ext}}(r , \theta) =  - \frac{4}{3} \pi C^3 \gamma  \mathcal{G} 	\Biggl[ \frac{1}{r} +  \frac{3}{5} \frac{C^2}{r^3} \epsilon _2 \mathcal{P}_2 (\cos\theta)\Biggr].
$$
$\gamma = \frac{3m_p}{4\pi C^3}$,$g = \mathcal{G}\frac{m_p}{C^2}$���
\begin{eqnarray}
	��2�� = V_{\mathrm{nc,ext}} &=&-\frac{4}{5} \pi \gamma \mathcal{G} \epsilon _2 C^2 \biggl( \frac{C}{r} \biggr)^3 \mathcal{P}_2 (\cos\theta) \nonumber\\
	&=& -\frac{3}{5}\mathcal{G}\frac{m_p}{C^2} \epsilon _2 C \biggl( \frac{C}{r} \biggr)^3 \mathcal{P}_2 (\cos\theta)\nonumber \\
	&=& -\frac{3}{5}C \epsilon _2 g \biggl( \frac{C}{r} \biggr)^3 \mathcal{P}_2 (\cos\theta) \nonumber
\end{eqnarray}
}
�ȉ��̂悤�ɏ�����D
\begin{equation}   %%%153%%%
	V_{\mathrm{nc,ext}} = - \frac{3}{5} C \epsilon _2 g \biggl(  \frac{C}{r} \biggr)^3\mathcal{P}_2(\cos \psi)
	\label{153}
\end{equation}
�ώ��Ȍő̂̓V�̂Ƃ������ʂȏꍇ�ɂ����āC
�f���\�ʂ̋N����
�ȉ��̂悤�ɗ^������Ƃ������Ƃ�������(��(4.89)
\footnote{��(4.89)$A S_2 = \frac{(5/2)\zeta}{1 + \tilde{\mu}}$}
�Q��)�D
\begin{equation}   %%%154%%%
	C \epsilon _2 = \frac{(5/2)\zeta}{1 + \tilde{\mu}}
	\label{154}
\end{equation}
��ʂ̏ꍇ�ł́C
���̋N����$h_2 \zeta$�ɂ���ċL�q���C
�񒆐S�̊O���̃|�e���V�����͈ȉ��̂悤�ɏ����D
\begin{equation}   %%%155%%%
	V_{\mathrm{nc,ext}} = - k_2 \zeta g \biggl(  \frac{C}{r} \biggr)^3\mathcal{P}_2(\cos \psi)
	\label{155}
\end{equation}
�W��$h_2$��$k_2$��A. E. H. Love�ɂ���ē������ꂽ���̂ŁC
\textbf{���u��(Love numbers)}�Ƃ���
�m���Ă���D
���u����
�V�̂̓����\����m��֗��ȕ��@�ɂ�����
�p�ɂɗp������D

�f���̓����\�����킩���Ă���ƁC
���u���͌v�Z���邱�Ƃ��ł���D
�ώ��Ȍő̂̓V�̂Ƃ����P���ȏꍇ�́C
\begin{equation}   %%%156%%%
	h_2 = \frac{5/2}{1 + \tilde{\mu}} \ \ \ \ ������\ \ \ \ k_2 = \frac{3/2}{1 + \tilde{\mu}}
	\label{156}
\end{equation}
�ƂȂ�D
���̑��̏ꍇ�̓V�̂ŕ\�ʂ��Ð������t�ɂ���ƁC
�O���̃|�e���V�����͕\�ʂ̃|�e���V�����ɂ����
�\���Ɍ��߂���D
�\�ʂ̓_$P(r,\psi)$�ɂ����āC
���|�e���V������
���S�̃|�e���V������
$r=C$�Ŏ�(4.155)�ɂ���ė^������񒆐S�̃|�e���V����
�ƒ����|�e���V����
�̘a�ɂȂ�D
�\�ʂ𓙃|�e���V�����ʂƂ���ƁC�ȉ��𓾂�D
\begin{equation}   %%%157%%%
	-\frac{\mathcal{G} m_p}{r} - k_2 \zeta g \mathcal{P}_2(\cos \psi) - \zeta g \mathcal{P}_2(\cos \psi) = constant
	\label{157}
\end{equation}
�\�ʂ̎�$r = C [1 + \epsilon _2 \mathcal{P}_2(\cos \psi)]$
����(\ref{157})�ɑ�����āC
$\mathcal{P}_2(\cos \psi)$
�ւ̈ˑ���
��菜���ƁC�ȉ��𓾂�D
\begin{equation}   %%%158%%%
	k_2 = ( C \epsilon _2 / \zeta ) - 1
	\label{158}
\end{equation}
4.4�߂ŏq�ׂ��Ă�����ʂȃ��f���ɂ����āC
$C\epsilon _2 / \zeta = \frac{5}{2}H$�ł���(��(4.79)
\footnote{��(4.79)$A S_2  = F\frac{(5/2)\zeta _c}{1 + \tilde{\mu}} \ \ \  and\ \ \ B T_2 = H \frac{5}{2}\zeta$}
�Q��)�C
������
$2/5 \le  H \le 1$
�ł���C
�����
$k_2 = (5/2)H -1$�ł���D


��(\ref{144})�C��(\ref{145})�Ǝ�(4.13)����C
$\partial \mathcal{P}_2(\cos \psi) / \partial \psi = - \frac{3}{2} \sin2\psi$
�ł���C�ȉ��𓾂�D
\begin{equation}   %%%159%%%
	\Gamma = \frac{3}{2} k_2 \frac{\mathcal{G} m_s ^2}{a^6}C^5 \sin 2 \epsilon 
	\label{159}
\end{equation}
������$\epsilon$�͒����x��p�ł���D
���������āC
��(\ref{145})�C��({\ref{146}})�C��({\ref{151}})�Ǝ�({\ref{159}})���ȉ��̂悤�ɂȂ�D\begin{equation}   %%%160%%%
	\dot{a} = \mathrm{sign}(\Omega_p - n) \frac{3k_{2p}}{Q_p}\frac{m_s}{m_p}\biggl(\frac{C_p}{a} \biggr) ^5 na
	\label{160}
\end{equation}
�����œY��$p$�ɂ��Đ������Ă����ƁC
$p$�͈ȉ��̂��Ƃ��������邽�߂̂��̂ł���C
���̓��e�́C
���̏ꍇ���f���ɋN�����Ă��钪���̏ꍇ�ł���C
�ϐ�$\Omega _p$,$k_{2p}$,$Q_p$,��$C_p$��
�f���ɂ�����l���Ƃ������Ƃł���D
$I_p = \alpha _p m_p C_p^2 (\alpha _p \le 2/5)$�ł���ƁC�ȉ��̂悤�ɂȂ�D
\begin{equation}   %%%161%%%
	\dot{\Omega}_p = -\mathrm{sign}(\Omega_p - n) \frac{3k_{2p}}{2 \alpha _p Q_p}\frac{m_s ^2}{m_p(m_p+m_s)}\biggl(\frac{C_p}{a} \biggr) ^3 n^2
	\label{161}
\end{equation}


�q�����f���ɒ������N�����̂Ɠ����ɁC
�f�����q���ɒ������N�����D
���l�̋c�_��p���邱�Ƃ��ł��C
���̒����ɂ��ȉ��̂��Ƃ��������Ƃ��ł��C
\begin{equation}   %%%162%%%
	\dot{a} = \mathrm{sign}(\Omega_s - n) \frac{3k_{2s}}{Q_s}\frac{m_p}{m_s}\biggl(\frac{C_s}{a} \biggr) ^5 na
	\label{162}
\end{equation}
�ł���C�����Ĉȉ��̂悤�ɂȂ�D
\begin{equation}   %%%163%%%
	\dot{\Omega}_s = -\mathrm{sign}(\Omega_s - n) \frac{3k_{2s}}{2 \alpha _s Q_s}\frac{m_p ^2}{m_s(m_p+m_s)}\biggl(\frac{C_s}{a} \biggr) ^3 n^2
	\label{163}
\end{equation}
��({\ref{162}})�Ǝ�({\ref{163}})
����({\ref{160}})�Ǝ�({\ref{161}})�̓Y���̒P���ȕϊ��ɂ���ē�����Ƃ��������́C
2�̓V�̂̂��̋��ʏd�S�ɂ��Ẳ^������{�I�ɑΏ̂ł���Ƃ������Ƃ𔽉f���Ă���D
�������Ȃ���C
$m_s \ll m_p$
�ł���Ƃ���ƁC
�Ⴆ�΁C
���ɂ���Ēn���ɋN���钪���ɂ��Ă͂܂�C������
�n���ɂ���Č��ɋN���钪���ɂ��Ă͂܂�C���̂Ƃ�
\begin{equation}   %%%164%%%
	\dot{\Omega}_p = -\mathrm{sign}(\Omega_p - n) \frac{3k_{2p}}{2 \alpha _p Q_p}\biggl(\frac{m_s }{m_p}\biggr)^2\biggl(\frac{C_p}{a} \biggr) ^3 n^2
	\label{164}
\end{equation}
�ł���C�܂�
\begin{equation}   %%%165%%%
	\dot{\Omega}_s = -\mathrm{sign}(\Omega_s - n) \frac{3k_{2s}}{2 \alpha _s Q_s}\biggl(\frac{m_p}{m_s}\biggr)\biggl(\frac{C_s}{a} \biggr) ^3 n^2
	\label{165}
\end{equation}
�ł���D
$m_s \gg  m_p$�ł���ƁC
���z�ɂ���Ēn���ɋN���钪�������Ă͂܂�C���̂Ƃ�
\begin{equation}   %%%166%%%
	\dot{\Omega}_p = -\mathrm{sign}(\Omega_p - n) \frac{3k_{2p}}{2 \alpha _p Q_p}\biggl(\frac{m_s }{m_p}\biggr)\biggl(\frac{C_p}{a} \biggr) ^3 n^2
	\label{166}
\end{equation}
�ł���D


�����܂ł̋c�_�ł́C
�f���̎��]�͉q���̋O���^���Ɠ��������ł���Ɖ��肵�Ă����D
���̖@���̏d�v�ȗ�O�̓g���g���̋O���ł���C
���̋O���͉~�O���ɋ߂����C�����̐ԓ��ʂɑ΂���
153.834���X���Ă���C
�f���̎��]�̕����Ƌt�s���Ă���D
���̏ꍇ��
�}4.12a�̉q���̉^���̕�����ς��邱�ƂŁC
�O���i���̒���𐄒肷�邱�Ƃ��ł���(Goldreich �� Soter 1966)�D
���̂Ƃ��C
�f���ɋN���钪����
�f���̎��]�Ɖq���̋O���^���̗�����W����悤�ɓ����C
�����O���̈ʒu�Ƃ͖��֌W�ɁC
�q���̋O���͈ȉ��ŗ^�����銄���ŗ����Ă����D
\begin{equation}   %%%167%%%
	\dot{a} = -\frac{3k_{2p}}{Q_p}\frac{m_s }{m_p}\biggl(\frac{C_p}{a} \biggr) ^5 an
	\label{167}
\end{equation}

\setcounter{figure}{0}

%%%%%%%table 4.1%%%%%%%
\begin{figure}[tbp]
\begin{center}
	\includegraphics[width=12cm,height=10.586cm]{./figure/t4_1.jpg}
\end{center}	
	\caption{�e�f���e�q���ɂ����ė^������Tidal despinning timescales $\tau$�D
�������̒��ɂ���$k_2$��$Q$�̒l�́C��ΓV�̂̕��ύ���$\langle \mu \rangle = 5 \times 10^{10}$N m$^{-2}$�ƕX�V�̂̕��ύ���$\langle \mu \rangle = 4 \times 10^{9}$N m$^{-2}$���p���Čv�Z���ꂽ����l�ł���D
���̑��S�Ă̒l�� Yoder(1995) �ɂ��D
	}
	\label{table.4.1}
\end{figure}


�O���i���̊����͂������̒萔�̊֐��ł���D
�������Ȃ���C
$a,m_s,R_p,m_p$�Ƃ�����$k_2$�ł������Ȃ萸�x�悭���߂��Ă��邪�C
�f���̒����U��֐�$Q$�͂悭�킩���Ă��Ȃ�(4.13�ߎQ��)�D
�������̏d�v�ȑ��z�n�̓V�̂ɂ����āC
�ŏ��̎�����10���ԂƉ��肵�ē���ꂽ
tidal despinning timescales�̐���l���C
�\4.1�Ɏ����Ă���D


����ɁC
�q�����ȉ~�O���ł���t�s�O���ł���ƁC
�قȂ����U�����ƐU���̒�����f���Ɉ����N�����C
�U���ƐU������$Q$�ɂ��Ă̈ˑ������l���Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ��D


�A�|����Lunakhod�~�b�V�������c�������[�U�[���˔�p����
�����[�U�[����(Lunar laser ranging experiments)�ɂ��΁C
���͒n�����猻�݂̊���$\dot{a} \approx + 10^{-9}$ms$^{-1}$
�ŉ��������Ă���D
����͒n���̎��]���x���Ȃ��Ă��邱�Ƃ̑���Ƃ͓Ɨ����Đ��藧���Ă���D



\clearpage

%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
