%ssd�[�~ section 3
\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{delarray}
\usepackage{color}

\setlength{\textheight}{22cm}
\setlength{\voffset}{+0.2cm}
\setlength{\oddsidemargin}{+0.8cm}
\setlength{\textwidth}{15.7cm}
%\setlength{\textwidth}{40zw}

%\renewcommand{\baselinestretch}{1.5}

%\setlength\headheight{6mm}
%\setlength\footskip{6mm}
%\setlength{\textheight}{242mm}       
%\setlength\evensidemargin{3cm}
%\usepackage{pageset}
% ���܂�

\setlength{\hoffset}{0in}
\setlength{\voffset}{0in}

\setcounter{topnumber}{10}           %1P�ɍ������߂�}�̐�
\renewcommand{\topfraction}{1}

\makeatletter                        %�\�񕶎�@��, ���ʂ̕����Ƃ��ĔF��������
%\@addtoreset{equation}{section}      %section���Ƃɐ����ԍ���������
%\@addtoreset{equation}{subsection}
\makeatother                         %@�̗\�������

\def\vec#1{\mbox{\boldmath $#1$}}    %�x�N�g���̑����p�R�}���h
\pagestyle{headings}                 %s-jarticle�̓��e��ǂނ��߂̃R�}���h
\def\mytitle{Solar System Dynamics }                      %�y�[�W�����̃^�C�g���\��
\def\myfilename{main}             %�y�[�W�E���̃t�@�C�����\��..tex�͎����ł�

\����

\begin{document}
\renewcommand{\theequation}
     {\arabic{section}.\arabic{equation}}  
                                          %�����ԍ��̏����ݒ�
\renewcommand{\thefigure}
     {\arabic{section}.\arabic{figure}}  
                                          %�}�Ŕԍ��̏����ݒ�
\setcounter{section}{2}
\section{The Restricted Three-Body Problem}
\subsection{Introduction}
�O�͂ɂďd�͑��ݍ�p����2�̕��̂�, ���Ή^�����l�����ꍇ, 
�����ȉ~�O����`�����Ƃ�������. ���̏͂ł�3�̂̕��̂�
�d�͑��ݍ�p�������ꍇ�̉^���ɂ��čl����. 

 3�̖ڂ̕��̂̎��ʂ�, ����2�̂̉^���ɉe�����y�ڂ��Ȃ��ق�
�������ꍇ, ����3�̖ڂ̕��̂̉^��
�ɂ��čl���邱�Ƃ�, \textbf{����3�̖��}(the circular, 
restricted, three-body problem)�Ƃ���. �܂�,2�̂����ꕽ�ʏ��
�~�^�������Ă���ꍇ��,\textbf{�~����3�̖��},�ȉ~�^�����Ă���
�ꍇ��\textbf{�ȉ~����3�̖��}�Ƃ���.
���̂悤�ɐ�����݂��Ă�3�̖����������Ƃ͂ł��Ȃ���,
�������邱�Ƃő��z�n�̓V�̂̉^����, �ߎ��I�ɂł͂��邪, 
��r�I�ȒP�ɗ������邱�Ƃ��ł���悤�ɂȂ�. 

���̏͂ł͉~�����R�̖��ɂ��Ĉ���.
�܂�3�̖��̉^�����������L�q��, �f���̈ʒu��, �͂̕��t�_��
���Ă̍l�@���s��. �܂�, ���q�̋O����Jacobi�ϕ��ƌĂ΂��
�G�l���M�[�ϕ��̒l�̊֌W��}������. ����ɗ��q��1�̎��ʂ̎���
�ł̉^����Hill��������p���ĕ\��, ���̉^���ɂ��Ē��ׂ�. 
�Ō�͒�R�������ꍇ��3�̖��ɂ��Ă̍l�@���s��. 

\subsection{Equations of Motion}
�����ł���قǏ����Ȏ��ʂ������q��, ����$m_1$, $m_2$
������2�̕��̂���̏d�͂��󂯂Ȃ���^�����Ă���󋵂�
�l����. �܂�, 2�̕��̂͋��ʏd�S�̎�����~�^������
������̂Ƃ�, ���q�̎��ʂ͕��̂̉^���ɂ͉e�����Ȃ����̂Ƃ���. 

$\xi$, $\eta$, $\zeta$�̎�������, ���W���_��2�̕��̂̏d�S�ɂƂ�
���W�n���l����(\ref{fig:3.1}). $\xi$����, $t=0$�̂Ƃ���, 
$m_1$����$m_2$��
����������ɂƂ�, $\eta$����$\xi$���ɐ�����2�̕��̂̍��
�O���ʓ��ɑ��݂���悤�ɂƂ�. �܂�$\zeta$����$\xi-\eta$���ʂ�
������, 2�̕��̂̍��p�^���ʃx�N�g���̕����ɂƂ���̂Ƃ���. 
���̂̍��W�͂��ꂼ��$(\xi_1, \eta_1, \zeta_1)$, 
$(\xi_2, \eta_2, \zeta_2)$, �Ƃ�, �����͈��, ���ʏd�S�̎����
�����p���x�ŉ~�^�����Ă���Ƃ���. �܂�, �P�ʎ��ʂ�
$\mu =G(m_1+m_2)=1$ �ƂȂ�悤�ɂƂ�. ������, $m_1>m_2$�Ƃ�, �܂�
\begin{equation}
 \bar{\mu}=\frac{m_2}{m_1+m_2},
\label{eq:3.1}
\end{equation}
�ƒ�`�����, ���̂̎���$m_1$, $m_2$�ɏd�͒萔���|�����l
$\mu_1$, $\mu_2$��, �ȉ��̂悤�ɕ\�����. 
\begin{equation}
 \mu_1=gm_1=1-\bar{\mu}
\ \ \ \ \ \mbox{and}\ \ \ \ \ 
 \mu_2=gm_2=\bar{\mu}.
\label{eq:3.2}
\end{equation}
�P�ʒ�����2�̕��̂̋����Ƃ���. 
\textbf{�����n}(inertial system) �Ⴕ����, \textbf{sidereal system}
�ɂ�����
���q�̍��W��$(\xi, \eta, \zeta)$�Ƃ����, ���q�̉^����������
�ȉ��̂悤�ɂȂ�. 
\begin{eqnarray}
 \ddot{\xi}&=&\mu_1\frac{\xi_1-\xi}{r_1^3}
             +\mu_2\frac{\xi_2-\xi}{r_2^3}
\label{eq:3.3}\\
 \ddot{\eta}&=&\mu_1\frac{\eta_1-\eta}{r_1^3}
             +\mu_2\frac{\eta_2-\eta}{r_2^3}
\label{eq:3.4}\\
 \ddot{\zeta}&=&\mu_1\frac{\zeta_1-\zeta}{r_1^3}
             +\mu_2\frac{\zeta_2-\zeta}{r_2^3}
\label{eq:3.5}
\end{eqnarray}
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig31.eps}
  \caption{sidereal ���W�n$(\xi, \eta, \zeta)$��synodic ���W�n
          $(x, y, z)$�̊֌W. P�͗��q, ���_O��2�̂̏d�S, $\zeta, z$
          �͉�]���Ɉ�v����. �܂����͐�������\��.}
\end{center}
\label{fig:3.1}
\end{figure}
�܂�, �}(\ref{fig:3.1})���
\begin{eqnarray}
 r_1^2 &=&(\xi_1-\xi)^2+(\eta_1-\eta)^2+(\zeta_1-\zeta)^2 , 
\label{eq:3.6}\\
 r_2^2 &=&(\xi_2-\xi)^2+(\eta_2-\eta)^2+(\zeta_2-\zeta)^2 , 
\label{eq:3.7}
\end{eqnarray}
�ł���. 
2�̕��̂��~�O����`���Ƃ����̂�, ���̋����Ɗp���x$n$��
���ł���. ���̏ꍇ, ���q�̉^���͌Œ肳�ꂽ2�̎��_��
����̉^���ƍl���邱�Ƃ��ł���. �܂�, ���̂Ƌ��ɉ~�^��
������悤�ȍ��W�n���l�����, ���̂͌Œ肵�Ă�����̂Ƃ���
�������Ƃ��ł���. 
������, ���_�͓�����, $t=0$�ł�
$\xi, \eta, \zeta$ ���ƈ�v��, $\zeta$���ɂ��ĕ��ω^��$n$��
��]������W�n
���l����. $x$���͋��ʏd�S�̎�����~�^�����镨�̓��m��
���Ԓ�����ɂƂ�, $m_1$, $m_2$�̍��W�͂��ꂼ��, 
$(x_1, y_1, z_1)=(-\mu_2, 0, 0)$, \ $(x_2, y_2, z_2)=(-\mu_1, 0, 0)$
�Ƃ���. �����, ��(\ref{eq:3.2}), �}\ref{fig:3.1}\ ������������
\begin{eqnarray}
 r_1^2 &=&(x+\mu_2)^2+y^2+z^2 , 
\label{eq:3.8}\\
 r_2^2 &=&(x-\mu_1)^2+y^2+z^2 .
\label{eq:3.9}
\end{eqnarray}
���̂悤��$(x, y, z)$�͉�]���W�n, �Ⴕ����\textbf{synodic system}
�Ƃ���. 
�����̍��W�n�͈ȉ��̎��Ŋ֌W�t������. 
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \xi  \\
  \eta  \\
  \zeta         
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & -\sin nt  &0 \\
  \sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  x \\
  y \\
  z
 \end{array}
 \right).
\label{eq:3.10}
\end{equation}
���g���Ă���P�ʌn�ł�$n=1$�ł��邪, ������$n$�𖾎�
���Ă���. ��(\ref{eq:3.16})�`(\ref{eq:3.18})�ŉ��S��
���������邽�߂ł���.

��(\ref{eq:3.10})�̊e������2�K��������ƈȉ���2���𓾂�. 
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{\xi} \\
  \dot{\eta}  \\
  \dot{\zeta}         
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & -\sin nt  &0 \\
  \sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{x}-ny \\
  \dot{y}+nx \\
  \dot{z} 
 \end{array}
 \right).
\label{eq:3.11}
\end{equation}
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \ddot{\xi} \\
  \ddot{\eta}  \\
  \ddot{\zeta}         
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & -\sin nt  &0 \\
  \sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \ddot{x}-2n\dot{y}-n^2x \\
  \ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y\\
  \ddot{z} 
 \end{array}
 \right).
\label{eq:3.12}
\end{equation}
���̍��W�n�̕ϊ��ɂ��, �^������������\textbf{Corioli��}
(the Corioli's acceleration, $nx, ny$)��\textbf{���S��}
(the centrifugal acceleration, $n^2x, n^2y$)��������. 
�����̎����g����, ��(\ref{eq:3.3})�`(\ref{eq:3.5})��
�^���������������������, 
\begin{equation}
\begin{aligned}
 (\ddot{x}-&2n\dot{y}-n^2x)\cos nt
   - (\ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y)\sin nt= \\
 & \Bigg[
         \mu_1\frac{x_1-x}{r_1^3}+\mu_2\frac{x_2-x}{r_2^3}
   \Bigg]\cos nt +
   \Bigg[
       \frac{\mu_1}{r_1^3} +
       \frac{\mu_2}{r_2^3}
   \Bigg]y\sin nt , 
\end{aligned}
\label{eq:3.13}
\end{equation}
\begin{equation}
 \begin{aligned}
 (\ddot{x}-&2n\dot{y}-n^2x)\sin nt
       + (\ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y)\cos nt=\\
 & \Bigg[
         \mu_1\frac{x_1-x}{r_1^3}+\mu_2\frac{x_2-x}{r_2^3}
   \Bigg]\sin nt +
   \Bigg[
        \frac{\mu_1}{r_1^3}+
        \frac{\mu_2}{r_2^3}
   \Bigg]y\cos nt, 
\end{aligned}
\label{eq:3.14}
\end{equation}
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  \ddot{z}=-\Bigg[
        \frac{\mu_1}{r_1^3}+
        \frac{\mu_2}{r_2^3}
            \Bigg]z.
 \end{aligned}
\label{eq:3.15}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.13})��$\cos nt$�Ƃ̐ςƎ�(\ref{eq:3.14})��
$-\sin nt$�̐ςƂ̘a���Ƃ�, ���l��
��(\ref{eq:3.13})��$-\sin nt$�ł̐ςƎ�(\ref{eq:3.14})��
$\cos nt$�̐ςƂ̘a���Ƃ���, ���ӑ������킹���, 
synodic�n�ɂ����闱�q�̉^���������𓾂邱�Ƃ��ł���. 
\begin{eqnarray}
 \ddot{x}-2n\dot{y}-n^2x &=&
 - \Bigg[ 
         \mu_1 \frac{x+\mu_2}{r_1^3}+\mu_2\frac{x-\mu_1}{r_2^3}
   \Bigg]
   \label{eq:3.16} \\
 \ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y &=&
 - \Bigg[
        \frac{\mu_1}{r_1^3}+
        \frac{\mu_2}{r_2^3}
   \Bigg]y, 
   \label{eq:3.17}\\
  \ddot{z}&=&-\Bigg[
        \frac{\mu_1}{r_1^3}+
        \frac{\mu_2}{r_2^3}
            \Bigg]z.
   \label{eq:3.18}
\end{eqnarray}
�����̉^���������̓X�J���[�֐�$U$���g���Ĉȉ��̂悤��
�����������Ƃ��ł���. 
\begin{eqnarray}
  \ddot{x}-2n\dot{y} &=& \frac{\partial U}{\partial x}, 
  \label{eq:3.19}\\
  \ddot{y}+2n\dot{x} &=& \frac{\partial U}{\partial y}, 
  \label{eq:3.20}\\
  \ddot{z} &=& \frac{\partial U}{\partial z}, 
  \label{eq:3.21}
\end{eqnarray}
$U=U(x, y, z)$�͈ȉ��ŗ^������. 
\begin{equation}
 U=\frac{n^2}{2}(x^2+y^2)+\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}.
\label{eq:3.22}
\end{equation}
$(x^2+y^2)$�͉��S�͂ɂ��|�e���V����, $1/r_1$, $1/r_2$�̍���
�d�͂ɂ��|�e���V����������. 
���ɕ����w�ł͊��K�I�Ƀ|�e���V�����𕉂̗ʂƂ��Ĉ����̂�
$U^*=-U$�̒u������������, �^����������\��. 
\begin{eqnarray}
  \ddot{x}-2n\dot{y} &=& -\frac{\partial U^*}{\partial x}, 
  \label{eq:3.23}\\
  \ddot{y}+2n\dot{x} &=& -\frac{\partial U^*}{\partial y}, 
  \label{eq:3.24}\\
  \ddot{z} &=& -\frac{\partial U^*}{\partial z}.
  \label{eq:3.25}
\end{eqnarray}
�܂�, $U$�͐^�̃|�e���V�����ł͂Ȃ�. $U$�͉�]�n�ł̗��q��
�^����������\������̂ɂ����Ƃ��s���̗ǂ��֐��ł���, �Ƃ���
�����ł���.���̃|�e���V������\textbf{�U�|�e���V����}�Ƃ���. 

\subsection{The Jacobi Integral}
��(\ref{eq:3.19})��$\dot{x}$, ��(\ref{eq:3.20})��
$\dot{y}$, ��(\ref{eq:3.21})��$\dot{z}$�����ꂼ��
�ς��Ƃ��ĉ������킹���, 
\begin{equation}
 \dot{x}\ddot{x}+ \dot{y}\ddot{y}+ \dot{z}\ddot{z}
 = \frac{\partial U}{\partial x}\dot{x}
  +\frac{\partial U}{\partial y}\dot{y}
  +\frac{\partial U}{\partial z}\dot{z}
 =\frac{dU}{dt}.
\label{eq:3.26}
\end{equation}
�㎮�͐ϕ��ł���, 
\begin{equation}
 \dot{x}^2+ \dot{y}^2+ \dot{z}^2=2U-C_J
\label{eq:3.27}
\end{equation}
$C_J$�͐ϕ��萔. $\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2=v^2$�Ƃ���, 
\begin{equation}
 v^2=2U-C_J
\label{eq:3.28}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.22})���g����, 
\begin{equation}
 C_J=n^2(x^2+y^2)+2 \left(\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}\right)
     - \dot{x}^2- \dot{y}^2- \dot{z}^2
\label{eq:3.29}
\end{equation}
�����̂��Ƃ���, $2U-v^2=C_J$��, ���̉^���ɂ�����萔�ł��邱�Ƃ�
�킩��. $C_J$��\textbf{Jacobi �ϕ�}(the Jacobi integral)�ƌĂ�. 
����̓G�l���M�[�ϕ��ł͂Ȃ����Ƃɒ��ӂ���. �Ȃ��Ȃ琧��3�̖��ł�
�G�l���M�[���p�^���ʂ��ۑ����Ȃ�����ł���. Jacobi�ϕ��͉~����3�̖��
�ɂ�����P�Ȃ�ϕ��萔�ɂ����Ȃ�.

$C_J$�͂܂�, 3.1�߂ł�$(\xi, \eta, \zeta)$�̍��W�n���g���Ă��\���ł���.
��(\ref{eq:3.10})���g����, 
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  x \\
  y \\
  z 
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & \sin nt  &0 \\
  -\sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \xi \\
  \eta  \\
  \zeta         
 \end{array}
 \right), 
\label{eq:3.30}
\end{equation}
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{x}-n\dot{y} \\
  \dot{y}+n\dot{x}\\
  \dot{z} 
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & \sin nt  &0 \\
  -\sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{\xi} \\
  \dot{\eta}  \\
  \dot{\zeta}         
 \end{array}
 \right), 
\label{eq:3.31}
\end{equation}
�ł���. ������, 
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{x}-n\dot{y} \\
  \dot{y}+n\dot{x} \\
  \dot{z} 
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{x} \\
  \dot{y}  \\
  \dot{z}         
 \end{array}
 \right)
 +
  n\left(
 \begin{array}{ccc}
  \sin nt & -\cos nt  &0 \\
  \cos nt &  \sin nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \xi \\
  \eta  \\
  \zeta         
 \end{array}
 \right), 
\label{eq:3.32}
\end{equation}
�ł���̂�, �̂�, 
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{x} \\
  \dot{y} \\
  \dot{z} 
 \end{array}
 \right)
  =
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & \sin nt  &0 \\
  -\sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{\xi} \\
  \dot{\eta}  \\
  \dot{\zeta}         
 \end{array}
 \right)
 -n
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \sin nt & -\cos nt  &0 \\
  \cos nt &  \sin nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  \xi \\
  \eta  \\
  \zeta         
 \end{array}
 \right)
\label{eq:3.33}
\end{equation}
������
\begin{equation}
 \vec{A}=
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \cos nt & \sin nt  &0 \\
  -\sin nt &  \cos nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
 \ \ \ \ \ \mbox{and}\ \ \ \ \ 
 \vec{B}=
 \left(
 \begin{array}{ccc}
  \sin nt & -\cos nt  &0 \\
  \cos nt &  \sin nt  &0 \\
   0          &  0       &1
 \end{array}
 \right)
\label{eq:3.34}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.33})����, 
\begin{equation}
\begin{aligned}
 \dot{x}^2+ \dot{y}^2&+ \dot{z}^2= (\dot{x}\ \  \dot{y}\ \  \dot{z})
 \left(
 \begin{array}{c}
   \dot{x} \\
   \dot{y} \\
   \dot{z} 
 \end{array}
 \right)\\
&=(\dot{\xi}\ \ \dot{\eta}\ \ \dot{\zeta})\vec{A}^T\vec{A}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \dot{\xi}\\ \dot{\eta}\\ \dot{\zeta} 
 \end{array}
 \right) 
-n
(\dot{\xi}\ \ \dot{\eta}\ \ \dot{\zeta})\vec{A}^T\vec{B}
 \left(
 \begin{array}{c}
  \xi\\ \eta \\ \zeta
 \end{array}
 \right) \\
&\ \ \ \ \ 
-n
(\xi\ \ \eta\ \ \zeta)\vec{B}^T\vec{A}
 \left(
 \begin{array}{c}
 \dot{\xi}\\ \dot{\eta}\\ \dot{\zeta}
 \end{array}
 \right)
+n^2
(\xi\ \ \eta\ \ \zeta)\vec{B}^T\vec{B}
 \left(
 \begin{array}{c}
 \xi \\ \eta \\ \zeta
 \end{array}
 \right)\\
&= \dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2+\dot{\zeta}^2
+n^2(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2)
+2n(\dot{\xi}\eta - \dot{\eta}\xi).
\end{aligned}
\label{eq:3.35}
\end{equation}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig32.eps}
  \caption{2��ނ�Jacobi�萔�ɂ�����[�����x�Ȑ�. k�̂Ƃ�
           $\mu_2 =0.2$�ł���. $C_J$�̒l��(a)$C_J=3.9$
           , (b)$C_J=3.7$.}
\end{center}
\label{fig:3.2}
\end{figure}
$\vec{A}^T$, $\vec{B}^T$��$\vec{A}$, $\vec{B}$�̓]�u�s�������. 
\vec{A}, \vec{B}�͋��ɒ����s��ł��邽��, �t�s���, �P����, ���g��
�]�u�s��ł���. �܂�, �n����]���邾���ł͋����͕ω����Ȃ��̂�, 
$x^2+y^2+z^2= \xi^2+ \eta^2 +\zeta^2$���玮(\ref{eq:3.29})
���g����, 
\begin{equation}
 C_J=2 
  \left(
  \frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}
  \right)
        +2n(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})
       -\dot{\xi}^2-\dot{\eta}^2-\dot{\zeta}^2
\label{eq:3.36}
\end{equation}
�ƂȂ�. ����͈ȉ��̂悤�Ȍ`�ɏ��������邱�Ƃ��ł���. 
\begin{equation}
 \frac{1}{2}(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2+\dot{\zeta}^2)
         -  \left( \frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2} \right)
            = \vec{h}\cdot \vec{n}-\frac{1}{2}C_J
\label{eq:3.37}
\end{equation}
$\vec{n}=(0, 0, n)$�ł���, �㎮�̍��ӂ͗��q�̒P�ʎ��ʂ������
�S�G�l���M�[�ƂȂ�.  
2.9�߂��, �ۓ��͂������ꍇ��$\vec{h}$�����łȂ����Ƃ�
�킩���Ă���̂�,����3�̖��ł̓G�l���M�[���ۑ����Ȃ�. 

�e���W�n�ł̗��q�̈ʒu�Ƒ��x��Jacobi�ϕ��̒l�Ŕ��f����
���Ƃ��ł���. 2�̖��ł�, �p�^���ʂƃG�l���M�[�ϕ����g����
���Ή^���̕��������������Ƃ��ł���. ������, ����3�̖���, 
Jacobi�ϕ����g���Ă킩�邱�Ƃ͗��q�����݂ł��Ȃ��̈�
�̕]���ł���. 

Jacobi�ϕ��̐����Ƃ���, ���q�̑��x��0�ƂȂ�̈��]���ł���. 
���̏ꍇ, 
\begin{equation}
 2U=C_J
\label{eq:3.38}
\end{equation}
\begin{equation}
 n^2(x^2+y^2)+2\left(\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2} \right)
 =C_J
\label{eq:3.39}
\end{equation}
���̋Ȗʂ�\emph{�[�����x�Ȗ�}�Ƃ��Ēm���Ă���, ���q�̉^��
�ɐ����^����. �����$x-y$���ʂɂ��čl���Ă݂�. ���̏ꍇ
�[�����x�Ȗʂ͋Ȑ��ƂȂ�. �}\ref{fig:3.2}\ ��$\mu_2=0.2$, 
���ω^��$n=1$�Ƃ��Ă���. ��(\ref{eq:3.27})��Jacobi�ϕ����
���$2U \geq C_J$�ł���. �̂Ɏ�(\ref{eq:3.39})���, ���q
�̑��݉\�ȗ̈�����߂邱�Ƃ��ł���. ���̂��Ƃ�, 3�������W��
�����Ă���������. 
�}(\ref{fig:3.2})�̖Ԋ|���̗̈��, ���q�����݂��邱�Ƃ̂ł��Ȃ�
�̈��\���Ă���. �}(\ref{fig:3.2}a)�ɂ�����, ����, ����$C_J$��
�l�������q��$\mu_1$�̎��ʂ������̂̎���̖Ԋ|���łȂ��̈�
���ŋO���^�����s���Ă���Ƃ����, ���q��$\mu_2$�����O����, 
�Ԋ|���̈��ʉ߂���O������邱�Ƃ͂ł��Ȃ�. ���l��
�}(\ref{fig:3.2}b)�̂悤�ȏꍇ��, ���q��$\mu_1$�̎���ŋO���^��
���Ă����Ԃ���, $\mu_2$�O���ֈڂ邱�Ƃ����肤��. ������, 
�Ԋ|���łȂ��̈悩�瓦���邱�Ƃ͂ł��Ȃ�. �����\textbf{Hill��
���萫}(Hill's stability)�Ƃ���. 

\subsection{Tisserand Relation}
������$a$, ���S��$e$, �O���X�Ίp$I$�����a���ɂ��čl���Ă݂�.
�܂�, ���̜a�����ؐ��ɐڋ߂��ė���Ă�������̋O���v�f��$a'$, $e'$, 
$I'$�Ƃ���. ����2�g�̋O���v�f��, Jacobi�ϕ��Ƃ������̋ߎ���
�s�����ƂŊ֘A�t���邱�Ƃ��ł���. Jacobi�ϕ�, $C_J=2U-v^2$, ��
�ڋ߂̊Ԃ͒萔�ł���.3�����������W�n�ł�, �a���͈ʒu�x�N�g��
$\vec{r}=(\xi, \eta, \zeta)$, ���x$\vec{r}=(\dot{\xi}, \dot{\eta}
, \dot{\zeta})$������. ���̂悤�Ȍn�ł́C��(\ref{eq:3.37})���g����
Jacobi�ϕ����������Ƃ��ł���. 
\begin{equation}
 \frac{1}{2}(\dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2+\dot{\zeta}^2)
         -  \left( \frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2} \right)
            = \vec{h}\cdot \vec{n}-\frac{1}{2}C_J
\label{eq:3.40}
\end{equation}
$r_1$, $r_2$�͂��ꂼ��, �ؐ�����̜a���̋����ł���. �P�ʒ���, 
�P�ʊp���x�Ƃ��Ėؐ��̔�����, ���ω^�����g��. �܂�, �ؐ���
�a���̎��ʂ͑��z�̂�������\���������Ƃ���.
\begin{equation}
 g(m_{Sun}+m_{comet})\approx g(m_{Sun}+m_{Jupitar})=1
\label{eq:3.41}
\end{equation}
$m_{Sun}$, $m_{comet}$, $m_{Jupitar}$�͂��ꂼ��, ���z, �a��, 
�ؐ��̎��ʂł���. ���z-�a���Ԃ�2�̖��ɂ�����G�l���M�[�ϕ���
��(eq:2.34)\footnote{��(2.34): $v^2=\mu (2/r-1/a)$}
���,
\begin{equation}
 \dot{\xi}^2+\dot{\eta}^2+\dot{\zeta}^2=\frac{2}{r}-\frac{1}{a},
\label{eq:3.42}
\end{equation}
$\mu=1$�Ƃ�, �a��, �ؐ��̎��ʂ͑��z�̂�������\��������
�Ƃ����$r_1\approx r$�ƂȂ�. �a���̒P�ʎ��ʂ�����̊p�^���ʂ�
�ȉ��ŗ^������.
\begin{equation}
 \vec{h}=\vec{r}\times \dot{r}.
\label{eq:3.43}
\end{equation}
$\zeta$�����̊p�^���ʐ�����
\begin{equation}
 \xi \dot{\eta}- \eta \dot{\xi}=h\cos I.
\label{eq:3.44}
\end{equation}
������, $h^2=a(1-e^2)$�ł���. ����Ɏ�(\ref{eq:3.40})�̌`����
\begin{equation}
 \frac{2}{r}-\frac{1}{a}-2\sqrt{a(1-e^2)}\cos I
 = \frac{2}{r} -2\mu_2 \left(\frac{1}{r}-\frac{1}{r_2}\right)
   - C_J
\label{eq:3.45}
\end{equation}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig33.eps}
  \caption{�ؐ��ɐڋ߂������z�a���̋O���ω�. �ڋ߂ɂ��
           �a���̋O�����傫���ω����Ă���.}
\end{center}
\label{fig:3.3}
\end{figure}
�ƕό`�ł���. ������, �a�����ؐ����牓���Ƃ����, $1/r_2$��
�����ʂƂȂ�, $\mu_2$�̍��𖳎����邱�Ƃ��ł���,
\begin{equation}
 \frac{1}{2a}+\sqrt{a(1-e^2)}\cos I \approx constant.
\end{equation}
�����, �ؐ��ڋߑO��̋O���v�f�̊֌W��, �ߎ��I�Ɏ����̂悤��
�^������.
\begin{equation}
  \frac{1}{2a}+\sqrt{a(1-e^2)}\cos I=\frac{1}{2a'}+\sqrt{a'(1-e'^2)}\cos I'
\label{eq:3.47}
\end{equation}
���̎���\textbf{Tisserand �̔��莮}(Tesserand relation, 
Tesserand 1896)�Ƃ��Ēm���, �V�����������ꂽ�a����, �ȑO��
��������f���ɂ���ċO����ς���ꂽ���̂��ǂ�����
���肷��̂Ɏg����.

�ؐ��ɐڋ߂������z�a���O���̗��}\ref{fig:3.3}�Ɏ���. ���̏ꍇ, 
�ؐ��ւ̐ڋ߂ɂ��, �a���̔�������8AU�قǑ傫���Ȃ��Ă���. ���̜a����
���߂̋O���v�f��$a=4.81$AU, $e=0.763$, $I=7�K.47$, �ڋߌ�̋N���v�f��
$a=10.8$AU, $e=0.731$, $I=21�K.4$�ł���. Tisserand�̔��莮��
�P��Jacobi�ϕ��̋ߎ��l�Ƃ��������ł͂Ȃ�, �ؐ����~�O�������]���Ă���
�Ɖ��肵���Ƃ��ɓ�����l�ł���. ������, 
$\frac{1}{2a}+\sqrt{a(1-e^2)}\cos I$��,�ؐ��̗��S����0�łȂ���
���Ă��ߎ��I�ɂł͂��邪�萔�ł���. ���̗ʂ̎��Ԕ��W��}\ref{fig:3.4}
�Ɏ�����. ���͖ؐ��̗��S����0(�~�O��), ��̎����͐������l0.048�Ƃ���
����Tisserand �̒萔�ł���. �ߎ��̂����Ȃ��Ȃ�ڋߎ��̒l��
������, �O�҂ł�1%, ��҂ł�2%���x�ł����ϓ����Ă��Ȃ�.
�܂�, �ڋߌ�̒l�͖ؐ��̃P�v���[����12�N�̎����������ĕω����Ă���.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig34.eps}
  \caption{$e_{Jup}=0, e_{Jup}=0.048$�ɂ�����Tisserand �萔�̕ω�. 
           �ϕ����Ԃ�35�N.}
\end{center}
\label{fig:3.4}
\end{figure}

�}\ref{fig:3.3}�Ɏ������a���̋O���ω��̗��_��, �{�C�W���[, �K�����I
, �J�b�V�[�j�Ƃ������Q�f����ڎw���F���D�ɉ��p����Ă���. 
��L�̉�͉͂~����3�̖��Ɋ�Â��Ă���, �G�l���M�[�͕ۑ�����Ȃ�.
���������ۂ̏�ʂł̓G�l���M�[�͕ۑ�����Ă���, �ۓ��f����
�������̌������N����. �ۓ��f���ɑ΂���F���D�̎��ʂ��]���
�������̂�, �f���ւ̌��ʂ����o�ł��Ȃ������ł���. �����, ����
�����ł̉�͂ɂ���������������.������, ���z�n��
�����ł͎�v�Șf���Ɣ��f���Ƃ̐ڋ߂�, �I�[���g�̉_�̌`���������炵,
 �܂�, �����̐ڋ߂̒~�ς͘f���O���ɑ傫�ȉe����^������
�l�����Ă���.

\newpage
\subsection{Lagrangian Equilibrium Points}
�O�߂ɂ�����2�̎���$m_1$, $m_2$���d�S�𒆐S�Ƃ��ē����O���ʓ�
�𕽋ω^��$n$�ŉ~�^������ꍇ, �������ω^��$n$�ŉ�]���Ă�����W�n
����݂��,  2�̕��̂͐Î~����
�����邱�Ƃ�������. ���̐߂ł�, ��]�n�ɂ�����,���qP��
�Î~���邱�Ƃ̂ł���\textbf{���t�_}(equilibrium point)��
������.

$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ �����ꂼ��, ����$m_1$�̕���,
2�̂̏d�S, ����$m_2$�̕��̂̈ʒu�x�N�g����\���Ƃ���.�x�N�g���̌��_
�͗��qP�ł���(�}\ref{fig:3.5}). �܂�, $\vec{F}_1$, $\vec{F}_2$��
P��$m_1$, $m_2$����󂯂�P�ʎ��ʂ�����̈��͂Ƃ���. ���̂Ƃ�P
�͉�]���W�n�ɑ΂��ĐÎ~���Ă���, O����̋�����$b$�Ƃ���. �܂�
P��$-\vec{b}$�����ɉ��S�͂��󂯂Ă���, ���̂���̈��͂ƃo�����X
���Ă���.
\begin{equation}
 \vec{F}=\vec{F_1}+\vec{F_2}.
\label{eq:3.48}
\end{equation}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{./fig/fig35.eps}
  \caption{���qP�ɓ���, ����$m_1$, $m_2$����̏d��. O�͕���$m_1$, $m_2$�̏d�S}
\end{center}
\label{fig:3.5}
\end{figure}
P�͐Î~���Ă���̂�Coriolis�̗͍͂l���Ȃ��ėǂ�.

O�̈ʒu�x�N�g���͎����ŗ^������.
\begin{equation}
 \vec{b}=\frac{m_1 \vec{a}+m_2 \vec{c}}{m_1+m_2}�C
\label{eq:3.49}
\end{equation}
���������������,
\begin{equation}
 m_1(\vec{a}-\vec{b})=m_2(\vec{b}-\vec{c}).
\label{eq:3.50}
\end{equation}
�㎮��$\vec{F}_1+\vec{F}_2$�̊O�ς��Ƃ��,
\begin{equation}
 m_2(\vec{F_1} \times \vec{c})+ m_1(\vec{F_2} \times \vec{a})
  =\vec{0}.
\label{eq:3.51}
\end{equation}
$\vec{F}_1$, $\vec{c}$��$\vec{F}_2$, $\vec{a}$�͂��ꂼ��̐���
�p�x�̕������t�ł���, �̂�,
\begin{equation}
 m_2F_1c=m_1F_2a.
\label{eq:3.52}
\end{equation}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{./fig/fig36.eps}
  \caption{P�����t�_�ɂ���Ƃ��̐}. �j����$m_1$, $m_2$������
           �����̐���2�������ł���. ����͖��L���͂ɂ����镽�t�_
           �̈ʒu�ł���. }
\end{center}
\label{fig:3.6}
\end{figure}
�d�͑��ݍ�p�̏ꍇ, $F_1=gm_1/a^2$, $F_2=gm_2/c^2$�ł���̂�
��(\ref{eq:3.52})����$a=c$���������. �܂�, ���q��2���̂�
�Ȃ�3�p�`�͕K��2����3�p�`���Ƃ������Ƃ��킩��.

���qP�̉��S�͂ƒP�ʎ��ʓ�����̕��̂���̈��͂Ƃ�
������������Ă݂��, 
\begin{equation}
 n^2b=F_1\cos \beta + F_2 \cos \gamma.
\label{eq:3.53}
\end{equation}
$\beta$��$\vec{F}_1$��$\vec{b}$�ƂȂ��p�x, $\gamma$��$\vec{F}_2$��
$\vec{b}$�ƂȂ��p�x�ł���(�}3.6).���̂��Ƃ���,
\begin{equation}
 n^2=\frac{g}{a^2 b^2}(m_1b \cos \beta + m_2 b \cos \gamma).
\label{eq:3.54}
\end{equation}
������, O, P, ��2�̕��̂̂Ȃ�3�p�`����,
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  b\cos \beta&=a-g \cos \alpha,\\
  b\cos \gamma&=a-(d-g) \cos \alpha,
 \end{aligned}
\label{eq:3.55}
\end{equation}
�ƂȂ�.$d$��$m_1$, $m_2$�Ԃ̋���, $g$ ��$m_1$��O�̋���
�ł���.�܂�,
\begin{equation}
 \cos \alpha= \frac{d}{2a},
\label{eq:3.56}
\end{equation}
�ł���.����ɏd�S�̒�`����,
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  g=&\frac{m_2}{m_1+m_2}d,
  d-g=&\frac{m_2}{m_1+m_2}d.
 \end{aligned}
\label{eq:3.57}
\end{equation}
�̂Ɏ�(\ref{eq:3.54})��
\begin{equation}
 n^2=\frac{g(m_1+m_2)}{a^3b^2}
 \left(a^2-\frac{m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2}d^2\right).
\label{eq:3.58}
\end{equation}
�Ə����������Ƃ��ł���.�]���藝���,
\begin{equation}
 b^2=a^2+g^2-2ag \cos \alpha=a^2 +g^2 -gd.
\label{eq:3.59}
\end{equation}
�������(\ref{eq:3.57})�ɓK�p����, 
\begin{equation}
 b^2=a^2-\frac{m_1 m_2}{(m_1+m_2)^2}d^2.
\label{eq:3.60}
\end{equation}
����,��(\ref{eq:3.58})�͎����ŕ\�����.
\begin{equation}
 n^2=g(m_1+m_2)/a^3.
\label{eq:3.61}
\end{equation}
������, ��ƂȂ���W�n�͊����n�ɑ΂��ĉ�]���Ă���̂�,
Kepler�̑�3�@�����,
\begin{equation}
 n^2=g(m_1+m_2)/d^3,
\label{eq:3.62}
\end{equation}
��������$a=d$�𓾂�.

����, $m_1$, $m_2$�ɂ��d�͂������Ă���n�ł�, $m_1$, $m_2$, 
���ӂƂ��鐳�O�p�`�̒��_�ɕ��t�_���ł��邱�Ƃ��킩��.�����
, ��ӂɑ΂��đΏ̂̈ʒu�ɂ����t�_�����݂��邱�Ƃ��킩��.������
�_��\textbf{Lagrangian equilibrium point}, $L_4$, $L_5$�Ƃ���.
�܂�, �����3�̕��t�_ $L_1$, $L_2$, $L_3$��, $m_1$, $m_2$������
������ɑ��݂��邱�Ƃ��m���Ă���.

�����ł�, �d�݂͂̂����݂���n�ł̕��t�_���l������,
�d�͂Ɠ��l�Ɏ��ԂɈˑ����Ȃ��͂ɂ��ē������Ƃ����藧��.
 �Ⴆ�Β�R�͂����݂��钆�ł�, ���t�_��, ���S�͈ȊO�̍���
�͌n�̏d�S�����Ɍ������Ƃ��������𗘗p���Č��߂邱�Ƃ��ł���.


\subsection{Location of Equilibrium Points}
�~����3�̖��͐ϕ��s�\����, �����̓�����𓾂邱�Ƃ͂ł���. 
������𓾂�ɂ�, ���q����]�n�ŐÎ~�ł���悤�ȓ_��T���΂悢.
���̂悤�ȓ_�𕽍t�_�ƌĂԂ��Ƃ͑O�߂ŏq�ׂ�. ���������, 
�S�Ẳ^����$x-y$���ʓ��ŋN������̂Ƃ�, �O�߂Ɠ��l��, �P�ʒ���
��2�̕��̂̋���, ���ω^����$n=1$�Ƃ���.

���t�_�̈ʒu�̌v�Z���ȒP�����邽��, Brower \& Clemence (1961)
�ɏ]��. �܂�$U$��ʂ̌`�ɏ���������. ��(\ref{eq:3.8})
\footnote{ ��(\ref{eq:3.8}): $r_1^2 =(x+\mu_2)^2+y^2+z^2$
}, (\ref{eq:3.9})
\footnote{��(\ref{eq:3.9}): $r_2^2 =(x-\mu_1)^2+y^2+z^2$}
�ł�$r_1$, $r_2$�̒�`��, $\mu_1+\mu_2=1$���g����,
\begin{equation}
 \mu_1 r_1^2+ \mu_2 r_2^2=x^2 +y^2+ \mu_1 \mu_2,
\label{eq:3.63}
\end{equation}
�̂Ɏ�(\ref{eq:3.22})
\footnote{��(\ref{eq:3.22}): 
$U=\frac{n^2}{2}(x^2+y^2)+\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}$}
���, 
\begin{equation}
  U=\mu_1\left(\frac{1}{r_1}+\frac{r_1^2}{2}\right)
   +\mu_2\left(\frac{1}{r_2}+\frac{r_2^2}{2}\right)
   -\frac{1}{2} \mu_1 \mu_2.
 \label{eq:3.64}
\end{equation}
���̌`��$x$, $y$����������Ă��邽��, �Δ�����
�ȒP�ɏ������Ƃ��ł���. �܂�, $x$, $y$�Ɋւ�炸, 
$r_1$, $r_2$�͏�ɐ��ł���.

��(\ref{eq:3.19})
\footnote{��(\ref{eq:3.19}): 
$\ddot{x}-2n\dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x}$}, 
��(\ref{eq:3.20})
\footnote{��(\ref{eq:3.20}): 
$\ddot{y}+2n\dot{x} = \frac{\partial U}{\partial y}$}
��, $\ddot{x}=\ddot{y}=\dot{x}=\dot{y}=0$�̏ꍇ�ɂ���
�l����. ���t�_�������邽�߂ɂ͎��̔���`��������
�����Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ�.
\begin{eqnarray}
 \frac{\partial U}{\partial x}&=& 
 \frac{\partial U}{\partial r_1} \frac{\partial r_1}{\partial x}
+ \frac{\partial U}{\partial r_2} \frac{\partial r_2}{\partial x}=0,
 \label{eq:3.65} \\
 \frac{\partial U}{\partial y}&=& 
 \frac{\partial U}{\partial r_1} \frac{\partial r_1}{\partial y}
+ \frac{\partial U}{\partial r_2} \frac{\partial r_2}{\partial y}=0.
 \label{eq:3.66}
\end{eqnarray}
$U$�Ɏ�(\ref{eq:3.64})�������ĕΔ��������s����.
\begin{eqnarray}
 \mu_1\left(-\frac{1}{r_1^2}+r_1 \right)\frac{x+\mu_2}{r_1}
+ \mu_2\left(-\frac{1}{r_2^2}+r_2 \right)\frac{x+\mu_1}{r_2}&=&0,
 \label{eq:3.67} \\
 \mu_1\left(-\frac{1}{r_1^2}+r_1 \right)\frac{y}{r_1}
+ \mu_2\left(-\frac{1}{r_2^2}+r_2 \right)\frac{y}{r_2}&=&0.
 \label{eq:3.68} 
\end{eqnarray}
��(\ref{eq:3.65}), (\ref{eq:3.65})����,
\begin{equation}
 \frac{\partial U}{\partial r_1}
 =\mu_1\left(-\frac{1}{r_1^2}+r_1 \right)=0,\ \ \ \ \ 
 \frac{\partial U}{\partial r_2}
 =\mu_2\left(-\frac{1}{r_2^2}+r_2 \right)=0,
 \label{eq:3.69}
\end{equation}
���, $r_1=r_2=1$�Ƃ��������ȉ��𓾂邱�Ƃ��ł���.
�܂�, 
\begin{equation}
 r_1^2=(x+\mu_2)^2+y^2=1,\ \ \  r_2^2=(x-\mu_1)^2+y^2=1
 \label{eq:3.70}
\end{equation}
����, ������2�̉��𓾂邱�Ƃ��ł���.
\begin{equation}
 x=\frac{1}{2}-\mu_2,\ \ \ \ \ y=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
 \label{eq:3.71}
\end{equation}
$r_1=r_2=1$���,���̊e�_��,$\mu_1$, $\mu_2$���ӂƂ���, ���O�p�`
�Œ�`�����. ������\textbf{���O�p�`���t��}(Lagrangian 
equilibrium point)�Ƃ���, 
�O�߂Ŏ�����,$L_4$, $L_5$�ł���.

��(\ref{eq:3.68})���, $y=0$����(\ref{eq:3.68})�̉��ł��邱�Ƃ�
���炩�ł���. ���̂��Ƃ͂��̑��̕��t�_��$x$����ɑ��݂�, ��
(\ref{eq:3.65})�𖞂������Ƃ���������. ���ۂɂ��̉���, 
\textbf{�������t��}(collinear Lagrangian equilibrium point)
$L_1$, $L_2$, $L_3$�ƈ�v����. $L_1$��$\mu_1$, $\mu_2$�̊�, 
$L_2$��$\mu_2$�̊O, $L_3$��$x$���̕��̈ʒu�ɑ��݂���.
���������, ����璼�����t���̈ʒu��, �ߎ��I�ɋ��߂Ă݂�.

$L_1$�ł�,
\begin{equation}
  r_1+r_2=1,\ \ \ r_1=x+\mu_2,\ \ \ r_2=-x+\mu_1,\ \ \ 
  \frac{\partial r_1}{\partial x}=
  -  \frac{\partial r_2}{\partial x}=1.
  \label{eq:3.72}
\end{equation}
�ƂȂ�̂�, ��(\ref{eq:3.67})�ɑ������,
\begin{equation}
 \mu_1 \left(-\frac{1}{(1-r_2)^2}+1-r_2 \right)
- \mu_2 \left(-\frac{1}{r_2^2}+r_2 \right)=0
  \label{eq:3.73}
\end{equation}
�Ⴕ����, 
\begin{equation}
\frac{\mu_2}{\mu_1}
=3r_2^3\frac{(1-r_2+r_2^2/3)}{(1+r_2+r_2^2)(1-r_2)^3},
   \label{eq:3.74}
\end{equation}
�𓾂�.
�����Ŏ������`�����,
\begin{equation}
 \alpha=\left(\frac{\mu_2}{3 \mu_1}\right)^{1/3},
   \label{eq:3.75}
\end{equation}
$r_2$������ʂƂ����Ƃ���, $r_2=\alpha$�̋ߎ������藧���Ƃ�
�킩��.����$\alpha$�͌��Hill������($\mu_2$�t�߂ł̋ߎ����g����
�^��������)���L�q����ۂɏo�Ă���
���̂ł���. ��(3.74)�̉E�ӂ��e�C���[�W�J���Đ���
���邱�Ƃ�,  
 \begin{equation}
 \alpha=r_2+\frac{1}{3}r_2^2+\frac{1}{3}r_2^3
 +\frac{53}{81}r_2^4+\mathcal{O}(r_2^5)
 \label{eq:3.76}
\end{equation}
�𓾂�. 2.5�߂�Lagrange's inversion method���g�����Ƃ�, 
$r_2$��$\alpha$�̊֐��Ƃ��ĕ\�����邱�Ƃ��ł���. ��(3.76)
��(2.89)\footnote{��(2.89): $\zeta=\mathit{z}+ e\phi (\zeta) (e < 1)$}���r���邱�Ƃ�,
\begin{equation}
 r_2=\alpha +(-1/3)\phi(r_2),
   \label{eq:3.77}
\end{equation}
�𓾂�. �֐�$\phi$�͎����Œ�`�����.
\begin{equation}
 \phi(r_2)=r_2^2+r_2^3+\frac{53}{27}r_2^4+\mathcal{O}(r_2^5).
   \label{eq:3.78}
\end{equation}
���̎�����,
\begin{equation}
 [\phi(\alpha)]^2=\alpha^4+2\alpha^5+\mathcal{O}(\alpha^6),
   \label{eq:3.79}
\end{equation} 
\begin{equation}
\frac{d}{d \alpha}[\phi(\alpha)]^2 = 4\alpha^3+10\alpha^4
  +\mathcal{O}(\alpha^5),
   \label{eq:3.80}
\end{equation}
\begin{equation}
[\phi(\alpha)]^3 = \alpha^6+\mathcal{O}(\alpha^7),
\label{eq:3.81}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{d^2}{d \alpha^2}[\phi(\alpha)]^3= 30\alpha^4
  +\mathcal{O}(\alpha^5).
   \label{eq:3.82}
\end{equation}
�������(2.90)\footnote{��(2.90): $ \zeta=z+\sum^{\infty}_{j=1}\frac{e^j}{j!}\frac{d^{j-1}}{dz^{j-1}}
       [\phi (z)]^j.
$}�̕\���ɓ��Ă͂߂��, $r_2$�̋�̓I��
�`�������߂邱�Ƃ��ł���.
\begin{eqnarray}
 r_2 &=&\alpha +\sum_{j=1}^{\infty}\frac{(-1/3)^j}{j!}
\frac{d^{j-1}}{d \alpha^{j-1}}[\phi(\alpha)]^j \nonumber \\
&=&\alpha-\frac{1}{3} \alpha^2-\frac{1}{9}\alpha^3
   -\frac{23}{81}\alpha^4  +\mathcal{O}(\alpha^5).
   \label{eq:3.83}
\end{eqnarray}
$L_2$�ł�,
\begin{equation}
  r_1-r_2=1,\ \ \ r_1=x+\mu_2,\ \ \ r_2=x-\mu_1,
  \frac{\partial r_1}{\partial x}=
  \frac{\partial r_2}{\partial x}=1.
  \label{eq:3.84}
\end{equation}
�ƂȂ�̂�, ��(\ref{eq:3.67})�ɑ������,
\begin{equation}
 \mu_1 \left(-\frac{1}{(1+r_2)^2}+1+r_2 \right)
+ \mu_2 \left(-\frac{1}{r_2^2}+r_2 \right)=0
  \label{eq:3.85}
\end{equation}
�Ⴕ����
\begin{equation}
\frac{\mu_2}{\mu_1}
=3r_2^3\frac{(1+r_2+r_2^2/3)}{(1+r_2)^2(1-r_2^3)},
   \label{eq:3.86}
\end{equation}
�𓾂�. $\alpha$�̒�`���g����,
\begin{eqnarray}
 \alpha &=&r_2-\frac{1}{3}r_2^2+\frac{1}{3}r_2^3+\frac{1}{81}r_2^4
           + \mathcal{O}(r_2^5)\\
\label{eq:3.87}
 r_2 &=&\alpha+\frac{1}{3}\alpha_2-\frac{1}{9}\alpha^3
       -\frac{31}{81}\alpha^4+ \mathcal{O}(\alpha^5)
\label{eq:3.88}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�.$L_3$�ł�,
\begin{equation}
  r_2-r_1=1,\ \ \ r_1=-x-\mu_2,\ \ \ r_2=-x+\mu_1,
  \frac{\partial r_1}{\partial x}=
  \frac{\partial r_2}{\partial x}=-1.
  \label{eq:3.89}
\end{equation}
�ƂȂ�̂�, ��(\ref{eq:3.67})��$r_2$�ɑ������,
\begin{equation}
 \mu_1 \left(-\frac{1}{r_1^2}+r_1 \right)
+ \mu_2 \left(-\frac{1}{(1+r_1)^2}+1+r_1 \right)=0
  \label{eq:3.90}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\mu_2}{\mu_1}
=\frac{(1-r_1^3)(1+r_1)^2}{r_1^3(r_1^2+3r_1+3)}.
   \label{eq:3.91}
\end{equation}
������,$r_1=1+\beta$�Ƃ����, 
\begin{eqnarray}
 \frac{\mu_2}{\mu_1}
&=&-\frac{12}{7}\beta+\frac{144}{49}\beta^2-\frac{1567}{343}\beta^3
   + \mathcal{O}(\beta^4),
\label{eq:3.92}\\
 \beta&=&-\frac{7}{12}\left(\frac{\mu_2}{\mu_1}\right)
       +\frac{7}{12}\left(\frac{\mu_2}{\mu_1}\right)^2
       -\frac{13223}{20736}\left(\frac{\mu_2}{\mu_1}\right)^3
       +\mathcal{O}\left(\frac{\mu_2}{\mu_1}\right)^4
   \label{eq:3.93}
\end{eqnarray}

�}3.7��, ���ʔ�$\mu_2=0.2$, 3��Jacobi�萔�̏ꍇ
�̃[�����x�Ȑ�
��, �S�Ă�Lagrangian points ��������. �}3.8
�ł�,�������ʔ�ɂ�����A���I�ɕω�����$C_J$�̃[�����x�Ȑ���
��`�����3�����Ȗ�
�ł���.

�}3.7, 3.8���݂��, $L_1$�ł�Jacobi�萔
���ł��傫��($C_J=3.805$, $\mu_2=0.2$),�ł������Ɉʒu���Ă���. 
�}3.2�Ɣ�r�����, $L_1$��, 2���̂̂��ꂼ������O����
������_�ɂȂ��Ă��邱�Ƃ��킩��. $L_2$($C_J=3.552$, $\mu_2=0.2$)
�̓[�����x�Ȑ��̂�����̈Ɠ_�ł���. $C_J<C_{L_2}$�ƂȂ闱�q��, 
�^���\���ʂ̓���, �O�������̋O������邱�Ƃ��ł���.
�}�����ꂵ���[�����x���܂��d�Ȃ�_��$L_3$($C_J=3.197$, 
$\mu_2=0.2$)�̈ʒu�ɂ����݂���.$L_4$, $L_5$($C_J=2.84$, 
$\mu_2=0.2$)�̐��O�p�`���t���̈ʒu�ł�$C_J$�̒l���ł�������.
����, ���q��Jacobi �萔��$C_J<C_{L_{4,5}}$�ł���Ȃ�,���q�O����
�r���̈�͑��݂��Ȃ�. ����͗��q���ǂ��ɂł��s����Ƃ������Ƃ�
�Ӗ����Ă���̂ł͂Ȃ�. �P��Jacobi �萔�ɂ��^���̐������Ȃ�
�Ƃ������Ƃ������Ă���ɉ߂��Ȃ�.

Lagrangian equilibrium point�̐����̏��Ԃɓ��Ɍ��܂�͖���.
 ���O�p�`���t���Ɋւ��Ă͊��K�I�Ɉ��������Ă������$L_5$�Ƃ���.
 ������, ���t�_�ɂ�����Jacobi �萔��, ���t�_�𕪗�
���Ă݂�. ���t�_��$x$, $y$�܂���,��Ŗ��炩�ɂ���$r_1$, $r_2$�Ŏ�
(\ref{eq:3.39})
\footnote{��(\ref{eq:3.39}): $n^2(x^2+y^2)+2(\mu_1/r_1+\mu_2/r_2)=C_J$}
�������W�J���邱�Ƃ�, Jacobi�萔���v�Z���邱�Ƃ�
�ł���. $\mathcal{O}(\mu_2)$�܂œW�J����ƈȉ��̎��𓾂�.
\begin{eqnarray}
 C_{L_1} &\approx& 3+3^{4/3}\mu_2^{2/3}-10\mu_2/3,
 \label{eq:3.94}\\
 C_{L_2} &\approx& 3+3^{4/3}\mu_2^{2/3}-14\mu_2/3,
 \label{eq:3.95}\\
 C_{L_3} &\approx& 3+ \mu_2,
 \label{eq:3.96}\\
 C_{L_4} &\approx& 3-\mu_2,
 \label{eq:3.97}\\
 C_{L_5} &\approx& 3-\mu_2.
 \label{eq:3.98}
\end{eqnarray}
��(\ref{eq:3.8})
\footnote{ ��(\ref{eq:3.8}): $r_1^2 =(x+\mu_2)^2+y^2+z^2$
}, (\ref{eq:3.9})
\footnote{��(\ref{eq:3.9}): $r_2^2 =(x-\mu_1)^2+y^2+z^2$}, 
(\ref{eq:3.39})
��, $y$��$-y$�ł����Ă������ł���. �̂Ƀ[�����x�Ȑ���$x$��
�ɑΏ̂ƂȂ��Ă��Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ�. ���̂��Ƃ���, $L_4$, $L_5$
�ł�Jacobi �萔�̒l�͓����ɂȂ�. 

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.6\linewidth]{./fig/fig37.eps}
  \caption{Lagrangian equilibrium point (����)�̈ʒu��$\mu_2=0.2$
           �̎��̃[�����x�Ȑ�������. �[�����x�Ȑ���,�Ȑ���$L_1$, 
           $L_2$, $L_3$�����ꂼ��ʂ�Ƃ���3��Jacobi�萔
           (3.805, 3.552, 3.197)�̏ꍇ�ł���. �܂�O��2���̂�
           �d�S�ł���. }
\end{center}
\label{fig:3.7}
\end{figure}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.65\linewidth]{./fig/fig38.eps}
  \caption{$C_J=2U$�Œ�`�����3�����Ȗʂ�, Lagrangian 
           equilibrium point �̈ʒu������. $L_1$, 
           $L_2$, $L_3$ �͑S��, �Ȗʂ̈Ɠ_��Ɉʒu����. 
           ���̋Ȗʂ͐����������$C_J$�̏������Ȃ�����ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.8}
\end{figure}


���z�n�ōő��$\mu_2=m_2/(m_1+m_2)$�����̂�, Pluto-Charon�ł���,
���̑傫����$\sim 10^{-1}$�ł���. �n��-���ł�$\sim 10^{-2}$ 
�ł���. ������, ���̑��̘f��-�q��, �܂��͑��z-�f���ł�$\mu_2$
��, ���Ȃ��Ƃ������ꌅ�������Ȃ�. �̂ɑ��z�n�ł�
Lagrangian equilibrium point ���l����ۂ�, $\mu_2$���������ꍇ
���l���邱�Ƃ��d�v�ł���.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.55\linewidth]{./fig/fig39.eps}
  \caption{Lagrangian equilibrium point (����)�̈ʒu��$\mu_2=0.01$
           �̎��̃[�����x�Ȑ�������. �j���͏d�S�𒆐S�Ƃ����Ƃ���
           �P�ʉ~�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.9}
\end{figure}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.75 \linewidth]{./fig/fig310.eps}
  \caption{5��Lagrangian equilibrium point �̏d�S����̋���. 
           ������$\mu_2$��log ���Ƃ��Ă���.}
\end{center}
\label{fig:3.10}
\end{figure}

��(\ref{eq:3.94}), (\ref{eq:3.95})����, $\mu_2 \rightarrow 0$
�̂Ƃ�$C_{L_1} \rightarrow C_{L_2}$�ƂȂ�. ���l�Ɏ�
(\ref{eq:3.83}), (\ref{eq:3.88})���, $\mu_2 \rightarrow 0$
�̂Ƃ�, $\mathcal{O}
(\alpha^2)$��荂���̍��͖����ł���悤�ɂȂ�. �����$L_1$, $L_2$
��$\mu_2$���瓙�����ɂ��邱�ƂɂȂ�. $L_3$�͒��S���ʂ���$1+\beta$
�̈ʒu�ƂȂ�. $\beta <0$�͎�(\ref{eq:3.93})�ŗ^�����Ă���. 
����� $\mu_2 \rightarrow 0$�̂Ƃ�, $L_3$�͒P�ʉ~�ɋ߂Â�. 
���O�p�`���ɂ��Ă͊���$\mu_1$�𒆐S�Ƃ���P�ʉ~�ɐڂ��Ă���, 
���S����̋�����$r=(1-\mu_2+\mu_2^2)^{1/2}$�ł���. $\mu_2$��, 
����$\mu_1$�Əd�S�Ԃ̋����ł�����̂�, $\mu_2 \rightarrow 0$
��, ����$\mu_1$���d�S�ɋ߂Â����Ƃ��Ӗ����Ă���. 

�}\ref{fig:3.9}��$\mu_2=0.01$(�n��-���ł̒l�Ƃقړ���)�̎���
�[�����x�Ȑ���
Lagrangian equilibrium point ������. $L_1$, $L_2$��
$\mu_2$����, �قƂ�Ǔ������ɂ���, $L_3$�͂قڒP�ʉ~��ɂ���.
�}3.9���̔j���͎���$\mu_1$�𒆐S�Ƃ���P�ʉ~��\��. 
����𔼌a��1\% �E�ɂ��炷��,�d�S�𒆐S�Ƃ���P�ʉ~�ƈ�v
����.

$\mu_2 \rightarrow 0$�̎��̒P�ʉ~�̑Ώ̐��̒��x��\�����邽��
�X�̕��t�_�̔��a��, $\mu_2=10^{-1}$����$\mu_2=10^{-10}$�ɂ�����
�v�Z����(�}3.10). ���̌���, �܂�$L_3$, $L_4$, $L_5$��, 
���ꂩ��$L_1$, $L_2$���P�ʉ~�̔��a�Ɏ������Ă������Ƃ��킩��. 
�[�����x�Ȑ��ƕ��t�_�̂��̂悤�Ȑ����͎��ʔ䂪�������ꍇ��
���q�̉^���ɂ��Ă̋ߎ��I�ȉ���^���Ă����.

\newpage
\subsection{Stability of Equilibrium Points}
���̐߂ł�, �O�߂܂łŏq�ׂ����t�_�̈��萫�ɂ��čl�@����.
�n���|�e���V�������猈�܂�͂ɂ���Ďx�z����Ă���ꍇ, 
�^���G�l���M�[�ƃ|�e���V�����G�l���M�[�̘a�͕ۑ�����. 
���̂悤�Ȍn�ł�, ����ȉ^���ł͕��t�_�Ń|�e���V�������ŏ��ƂȂ�. 
�����̓_�ɒu���ꂽ���̂�, �����ȕψʂ������Ă�, ���̓_��
�ߖT�ɗ��܂葱���邾�낤. ���̂��Ƃ𕽍t�_�Ŕ����ψʂ��镨�̂�
�l���邱�ƂŎ����Ă݂�. �|�e���V�����G�l���M�[�͍ŏ�
���瑝�����Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�����, �^���G�l���M�[�̓[���ɂȂ�܂�
��������. ������, 2�̃G�l���M�[�̘a�͈��Ȃ̂�, 
�^���G�l���M�[���[���ɂȂ�_��, �^���͋t�]��, ���̓_����
�^���G�l���M�[�͑�����, �܂�,
 �|�e���V�����G�l���M�[�͌�������. �^���ɍR����͂������ꍇ
�ɂ͗��q�͕��t�_�Ɍ������^�����s��. �Ȃ�, 2�̉^���̏ꍇ��
���̂悤�Ȓ�R�͂͗��q�̉^�����x�𑝂�. �Ȃ��Ȃ�, �G�l���M�[�̌���
��, �O�����a�̌������Ӗ����邩��ł���.

���O�p�`���t���ߖT�ł̃[�����x�Ȑ��ɂ��čl���Ă݂�. 
$L_4$, $L_5$�t�߂ł�, $C_J=2U-v^2$���ŏ��ƂȂ邱�Ƃ͊���
�q�ׂ�. �ȑO��$U$�𕉐��Ƃ��ĕ\������$U^*$�𓱓�����($U^*=-U$)
�̂�, $L_4$, $L_5$�ł�$C_J$���ő�ɂȂ邱�ƂɂȂ�. ������, 
���ۂ̉^���ő厖�Ȏ���, ���q�̉^���̕����ł���. �}3.11
��$\mu_2=0.1$�ł�2�̃[�����x�Ȑ���\���Ă���. ��(\ref{eq:3.16})
\footnote{��(\ref{eq:3.16}): $ \ddot{x}-2n\dot{y}-n^2x =
 - [\mu_1 (x+\mu_2)/r_1^3+\mu_2(x-\mu_1)/r_2^3]$} 
, (\ref{eq:3.17})
\footnote{��(\ref{eq:3.16}): $ \ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y =
 - [\mu_1/r_1^3 + \mu_2/r_2^3]y$}
���g���ċȐ���ł̗l�X�ȓ_�ł̉����x�x�N�g��
$(\ddot{x}, \ddot{y})$ �����ߐ}���̖��ŕ\������. ���̉����x
�x�N�g���ɒ��ڂ����, ��Ƀ[�����x�Ȑ��ɐ����ł���, ���̑傫����
���t�_�̋߂��ōő�ƂȂ邱�Ƃ��킩��.
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig311.eps}
  \caption{2�̃[�����x�Ȑ�($C_J=2.95, C_J=3.09, \mu_2=0.1$)
           ��ł̏����^���̑��ΓI�ȑ傫���ƕ���.}
\end{center}
\label{fig:3.11}
\end{figure}

�}3.11�ŕ\����Ă��鏉�����x�̕�����, $L_4$���痣���
�����ł���$C_J$���傫���Ȃ�̈�������Ă���̂�, $L_4$�͕s�����
���t�_���ƍl���邱�Ƃ��ł���. ������, �����ڂ������Ȃ��Ă��邾������
�m��Ȃ�. �����, ���t�_���萫���l���邽��, ���t�_���班�����ꂽ�ꏊ
�ɒu�������q�̉^���𒲂ׂĂ݂悤. ���̍�Ƃ��^������������`��
��, \textbf{���`���萫���}(linear stability analysis)��
���s���邱�Ƃōs��.

�~�������ɂ����镽�t�_�̈ʒu��$(x_0, y_0)$�ŕ\��, ���q��
���t�_��������ψʂ�����. �����ψ�
��$(X, Y)$�ł���킷.����ė��q�̍��W��$(x, y)=(x_0+X, y_0+Y)$
�ŕ\�����. �����
��(\ref{eq:3.19})
\footnote{��(\ref{eq:3.19}): 
$\ddot{x}-2n\dot{y} = \frac{\partial U}{\partial x}$}, 
��(\ref{eq:3.20})
\footnote{��(\ref{eq:3.20}): 
$\ddot{y}+2n\dot{x} = \frac{\partial U}{\partial y}$}
�ɑ������, �e�C���[�W�J����.
\begin{eqnarray}
 \ddot{X}-2n\dot{Y}
   &\approx& \left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)_0
    +X \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)\right)_0
+Y \left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial U}{\partial x}\right)\right)_0. \nonumber \\
   &=& X\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}\right)_0
   + Y\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}\right)_0
\label{eq:3.99}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
 \ddot{Y}+2n\dot{X}
   &\approx& \left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)_0
    +X \left(\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)\right)_0
+Y \left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)\right)_0 , \nonumber \\
   &=& X\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}\right)_0
   + Y\left(\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)_0.
\label{eq:3.100}
\end{eqnarray}
�Y������0�͕��t�_�ł̕Δ����̒l������. �܂�, 
$(\partial U/\partial x)_0=(\partial U/\partial y)_0=0$���g����
($\partial U/\partial x=\partial U/\partial y=0$
�������ĕ��t�_�����߂�). ���͕��t�_�t�߂̉^���ɂ���
�l���Ă���̂�, $(X, Y)$�����̍���
�����ł���. �����ł̏����̔���`��������������^����������
\textbf{���`��}(linearise)�����̂ł���.
���`�������������������ȉ��̌`�ɏ�������.
\begin{equation}
 \ddot{X}-2\dot{Y}=XU_{xx}+YU_{xy},\ \ \ \ 
 \ddot{Y}+2\dot{X}=XU_{xy}+YU_{yy}.
\label{eq:3.101}
\end{equation}
������$n=1$, �܂�,
\begin{equation}
 U_{xx}=\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}\right)_0,\ \ \ 
 U_{xy}=\left(\frac{\partial^2 U}{\partial x \partial y}\right)_0,\ \ \ 
 U_{yy}=\left(\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}\right)_0.
\label{eq:3.102}
\end{equation}
�͑S�Ē萔�ł���. �����̕������������ɂ͑����̕��@������, 
���l�̕������͂��̖{�̒��ő����o�ꂷ��. ����Ă�����
�����̕������̉�@�ɂ��ĐG��Ă���. 

�܂�, ���������s��̌`�ɏ���������.
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
\dot{X} \\ \dot{Y} \\ \ddot{X}\\ \ddot{Y} 
\end{array}
\right)
=\left(
\begin{array}{cccc}
 0 &0& 1 & 0\\
 0 &0& 0 & 1\\
 U_{xx} & U_{xy}& 0 & 2\\
 U_{xy} & U_{yy}& -2 & 0
 \end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
X \\ Y \\ \dot{X}\\ \dot{Y}
\end{array}
\right)
\label{eq:3.103}
\end{equation}
������, 2�̘A��2�K������������, 4�̘A��1�K����������
�ɕϊ����ꂽ. ���̕������͎����̂悤�Ȍ`�����Ă���.
\begin{equation}
 \dot{\vec{X}}=\vec{A}\vec{X},
 \label{eq:3.104}
\end{equation}
\begin{equation}
\vec{X}=
\left(
\begin{array}{c}
 X \\ Y \\ \dot{X}\\ \dot{Y}
\end{array}
\right)
\ \ \ \ \mbox{and}\ \ \ \ 
\vec{A}
=\left(
\begin{array}{cccc}
 0 &0& 1 & 0\\
 0 &0& 0 & 1\\
 U_{xx} & U_{xy}& 0 & 2\\
 U_{xy} & U_{yy}& -2 & 0
 \end{array}
\right).
\label{eq:3.105}
\end{equation}
��ɐi�߂�O��, ��(\ref{eq:3.104})�̂悤��, $\vec{A}$��$n \times n$
�̍s��, $\vec{X}$��$n$-�����x�N�g���ł���ꍇ��, ��ʓI�ȍs��
�������ɂ��čl���Ă݂悤.

$\vec{x}$���ȉ��̕������𖞂�����,
\begin{equation}
 \vec{A}\vec{x}=\lambda \vec{x},
\label{eq:3.106}
\end{equation}
$\lambda$�̓X�J���[�ʂ̒萔. ���̂Ƃ�$\vec{x}$��$\vec{A}$��
\textbf{�ŗL�x�N�g��}(eigenvector), $\lambda$��\textbf{�ŗL�l}
�Ƃ���. $\vec{A}$��ϊ��s��ƍl�����, ��(\ref{eq:3.106})�𖞂���
�x�N�g��$\vec{x}$��$\vec{A}$����p�������, $\vec{x}$�Ɠ���������
����, �傫���̈Ⴄ�x�N�g�����������Ƃ������ƂɂȂ�. 

��(\ref{eq:3.104})���������߂ɂ܂�, $\vec{A}$�̌ŗL�l��������.
��(\ref{eq:3.106})������������, 
\begin{equation}
 (\vec{A}-\lambda \vec{I})\vec{x}=0,
\label{eq:3.107}
\end{equation}
�Ƃ���. $\vec{I}$��$n \times n$�̒P�ʍs��ł���. ����$n$ �{��
�A����������, $\vec{A}-\lambda \vec{I}$�̍s�񎮂�0�̂Ƃ�
, �����łȂ���������.
\begin{equation}
 det(\vec{A}-\lambda \vec{I})=0.
\label{eq:3.108}
\end{equation}
�����\textbf{�ŗL������}�ƌĂ΂��. �����$\lambda$�ɂ���
$n$���̕������ł���, $n$�̍�������. $n$��
�ŗL�x�N�g���̐��Ɠ����ł���, �ŗL�x�N�g����
�e$\lambda$����(\ref{eq:3.106})
�ɑ����, $\vec{x}$�����߂邱�Ƃł킩��.

������, ��(\ref{eq:3.104})�̔����������ɖ߂�. $\vec{X}$�̐���
$X_i$�̎��Ԕ����������͗l�X�ȗv�f�Ɉˑ����Ă���. �Ⴆ��, 
��X�̏ꍇ�ł�, $\dot{X}$��, $X$, $Y$, $\dot{Y}$��
�֐��ł���. ����, �K���ȕϊ��ɂ����, �ˑ����Ă���ϐ���
���炷���Ƃ��ł����, �������������̂��ȒP�ɂȂ邾�낤.
�Ⴆ��$X$��, $\dot{Y}_i$��$Y_i$�����̕ϐ��ł���悤��, 
n�̕ϐ�$Y_i$�ɂ݈̂ˑ�����ꍇ���l����. ���̂��Ƃ�
\textbf{�����ϊ�}�ƌĂ΂����@���g���čs��.
�܂������̌`��$\vec{X}$��$\vec{Y}$�ɕϊ�����.
\begin{equation}
 \vec{Y}=\vec{B}\vec{X},
\label{eq:3.109}
\end{equation}
�萔�s��$\vec{B}$�͌�Ō��߂���.
\begin{equation}
 \vec{X}=\vec{B}^{-1}\vec{Y},\ \ \ \ 
 \dot{\vec{X}}=\vec{B}^{-1}\dot{\vec{Y}},
\label{eq:3.110}
\end{equation}
���ꂩ��, ��(\ref{eq:3.104})���ȉ��̂悤�ɏ�������.
\begin{equation}
 \vec{B}^{-1}\dot{\vec{Y}}=\vec{A}\vec{B}^{-1}\vec{Y}.
\label{eq:3.111}
\end{equation}
�܂�, ���Ӎ�����$\vec{B}$���������,
\begin{equation}
  \dot{\vec{Y}}=\vec{B}\vec{B}^{-1}\dot{\vec{Y}}
               =\vec{B}\vec{A}\vec{B}^{-1}\vec{Y}.
\label{eq:3.112}
\end{equation}

��(\ref{eq:3.112})��, $Y$�݂̂Ő��`�������������������ł���.
���̂��Ƃ�$\vec{B}$���Ίp�s��$\Lambda$���g����
�ȉ��̂悤�ɕ\�����Ƃ��ɐ��藧��.
\begin{equation}
  \vec{B}\vec{A}\vec{B}^{-1}=\vec{\Lambda}.
\label{eq:3.113}
\end{equation}
$\vec{\Lambda}$�͑Ίp�s��ł���. �����s��$\vec{B}^{-1}$��
�x�N�g����$\vec{A}$�̌ŗL�x�N�g������ł��Ă���Ȃ�, $\vec{\Lambda}$
��$\vec{A}$�̌ŗL�l�𐬕��ɂ��Ίp�s��ł���.
\begin{equation}
 \vec{\Lambda}=
 \left(
 \begin{array}{cccc}
  \lambda_1& 0& \cdots&0 \\
  0& \lambda_2& \cdots&0 \\
  \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\
  0& 0& \cdots&\lambda_n 
 \end{array}
 \right)
 \label{eq:3.114}
\end{equation}
���Ǖϊ���̌n�̕�������,
\begin{equation}
  \dot{\vec{Y}}=\vec{\Lambda}\vec{Y}.
\label{eq:3.115}
\end{equation}
�Ⴕ���͐����ŕ\������,
\begin{equation}
  \dot{Y}_i=\lambda_iY_i.
\label{eq:3.116}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.116})�̉���
\begin{equation}
 Y_i=c_i e^{\lambda_i t}.
\label{eq:3.117}
\end{equation}
$c_i$��n�̐ϕ��萔�ł���. $Y_i$�ɂ��Ă̕������̉���
���߂邱�Ƃ��ł�����, ���������$X_i$�ɂ��Ă̍��ɕϊ����Ȃ�
�Ă͂Ȃ�Ȃ�.��(\ref{eq:3.110})���
\begin{equation}
 \vec{X}=\vec{B}^{-1}\vec{Y}
=\vec{B}^{-1}
\left(
\begin{array}{c}
 c_1 e^{\lambda_1 t}\\
c_2 e^{\lambda_2 t} \\
 \vdots \\
c_n e^{\lambda_n t} 
\end{array}
\right)
\label{eq:3.118}
\end{equation}
n�̐ϕ��萔$c_i$��, ��(\ref{eq:3.118})��$n$�{�̘A��
���`�������̏����l��^���邱�ƂŌ��߂邱�Ƃ��ł���.

��X�̖��ɑ΂���, ���̉�@��K�p���Ă݂�. ��X�̏ꍇ��
$n=4$ �ł���, �ŗL�������͈ȉ��ł���.
\begin{equation}
 \mbox{det}(\vec{A}-\lambda \vec{I})=
 \left|
 \begin{array}{cccc}
  -\lambda & 0 & 1 & 0 \\
    0 & -\lambda & 0 & 1 \\
   U_{xx} & U_{xy} &-\lambda & 2 \\
   U_{xy} & U_{yy} & -2 &-\lambda     
 \end{array}
 \right|
=0
\label{eq:3.119}
\end{equation}
���̎��͋�̓I�Ɉȉ��̂悤�Ȍ`�ƂȂ�.
\begin{equation}
 \lambda^4 +(4-U_{xx}-U_{yy})\lambda^2 + U_{xx}U_{yy}-U_{xy}^2=0.
\label{eq:3.120}
\end{equation}
�����, $\lambda$�Ɋւ��Ă�4��, $\lambda^2$�Ɋւ��Ă�2����
�������ł���. �����, ����,
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  \lambda_{1,2}=\pm & \Bigg[\frac{1}{2}(U_{xx}+U_{yy}-4)\\
  & -\frac{1}{2}\left[(4-U_{xx}-U_{yy})^2-4(U_{xx}U_{yy}-U_{xy}^2)
       \right]^{1/2}\Bigg]^{1/2}
 \end{aligned}
\label{eq:3.121}
\end{equation}
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  \lambda_{3,4}=\pm & \Bigg[\frac{1}{2}(U_{xx}+U_{yy}-4)\\
  & +\frac{1}{2}\left[(4-U_{xx}-U_{yy})^2-4(U_{xx}U_{yy}-U_{xy}^2)
       \right]^{1/2}\Bigg]^{1/2}
 \end{aligned}
\label{eq:3.122}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.118})�̈�ʉ���, 4��$\vec{A}$�̌ŗL�x�N�g����
�܂�ł��邪, ���ۂ͕K�v�ł͂Ȃ�.��(\ref{eq:3.118})����
$X$, $\dot{X}$�̉����ȉ��̂悤�ɏ����邱�Ƃ͖��炩�ł���.
\begin{equation}
 X = \sum^4_{j=1} \bar{\alpha}_j e^{\lambda_j t},\ \ \ \ \ 
 \dot{X}=\sum^4_{j=1} \bar{\alpha}_j \lambda_j e^{\lambda_j t}.
\label{eq:3.123}
\end{equation}
$\bar{\alpha}_j$�͒萔�ł���. $X$�Ɠ��l��$Y$, $\dot{Y}$��
�������Ƃ��ł���, �萔
$\bar{\beta}_j$���g����,
\begin{equation}
 Y = \sum^4_{j=1} \bar{\beta}_j e^{\lambda_j t},\ \ \ \ \ 
 \dot{Y}=\sum^4_{j=1} \bar{\beta}_j \lambda_j e^{\lambda_j t},
\label{eq:3.124}
\end{equation}
�ƕ\�����Ƃɂ���.
���ɂ�4�̒萔�������݂��Ȃ��̂�, $\bar{\beta}_j$��$\bar{\alpha}_j$
�̊֐��ł���. $\bar{\beta}_j$��$\bar{\alpha}_j$�̊֌W��
��(\ref{eq:3.101})���狁�܂�. ��(\ref{eq:3.101})��
$X$, $Y$, $\dot{Y}$���������, 
\begin{equation}
 \sum^4_{j=1}(\bar{\alpha}_j \lambda^2_j- 2\bar{\beta}_j\lambda_j
    -U_{xx}\bar{\alpha}_j-U_{xy}\bar{\beta}_j)e^{\lambda_jt}=0.
\label{eq:3.125}
\end{equation}
$\bar{\beta}_j$�ɂ��ĉ�����, 
\begin{equation}
     \bar{\beta}_j=\frac{\lambda^2_j-U_{xx}}{2\lambda_j+U_{xy}}
                   \bar{\alpha}_j,
\label{eq:3.126}
\end{equation}
�ł���. $t=0$�̂Ƃ�, ���E�����Ƃ���$X=X_0$, $Y=Y_0$, 
$\dot{X}=\dot{X}_0$, $\dot{Y}=\dot{Y}_0$�Ƃ����, 4��
$\bar{\alpha}_j$��4�̐��`�A���������̉����瓾����.
\begin{equation}
 \sum^4_{j=1}\bar{\alpha}_j=X_0,\ \ \ \ 
 \sum^4_{j=1}\lambda_j \bar{\alpha}_j=\dot{X}_0,\ \ \ \ 
 \sum^4_{j=1}\bar{\beta}_j=Y_0,\ \ \ \ 
 \sum^4_{j=1}\lambda_j \bar{\beta}_j=\dot{Y}_0,
\label{eq:3.127} 
\end{equation}
���S�Ȍ`�̉��͎�(\ref{eq:3.123}), (\ref{eq:3.123})��, 
$\bar{\alpha}_j$, $\bar{\beta}_j$���g�����`�œ����邪,
���t�_�̈��萫�͌ŗL�l�݂̂𒲂ׂ邱�ƂŔ��f�ł���. 
�ŗL�l�̐����𒲂ׂ邽��, �ȉ��̗ʂ��`����.
\begin{eqnarray}
 \bar{A}&=&\frac{\mu_1}{(r^3_1)_0}+\frac{\mu_2}{(r^3_2)_0} \\
 \bar{B}&=&3\left[\frac{\mu_1}{(r^5_1)_0}+
            \frac{\mu_2}{(r^5_2)_0}\right]y_0^2 \\
 \bar{C}&=&3\left[\mu_1\frac{(x_0+\mu_2)}{(r^5_1)_0}+
            \mu_2\frac{(x_0-\mu_1)}{(r^5_2)_0}\right]y_0, \\
 \bar{D}&=&3\left[\mu_1\frac{(x_0+\mu_2)^2}{(r^5_1)_0}+
            \mu_2\frac{(x_0-\mu_1)^2}{(r^5_2)_0}\right]. 
\end{eqnarray}
�����萔���g����
\begin{eqnarray}
 U_{xx}&=&1-\bar{A}+\bar{D},\\
 U_{yy}&=&1-\bar{A}+\bar{B},\\
 U_{xy}&=&\bar{C}.
\label{eq:3.134}
\end{eqnarray}
�Ə�����. ����, �ŗL�l$\lambda_j$��, $\bar{\alpha}_j$, 
$\bar{\beta}_j$�����f���ł������Ƃ��Ă�, 
�����̗ʂ͎����ł���, $X$, $Y$, $\dot{X}$, $\dot{Y}$
�������łȂ���΂Ȃ�Ȃ�.

�ŗL�l�̈�ʓI�Ȍ`�͎�(\ref{eq:3.121}),(\ref{eq:3.122})����,
\begin{equation}
 \lambda_{1,2} =\pm (j_1+\mbox{i} k_1),\ \ \ \ \ 
 \lambda_{3,4} =\pm (j_2+\mbox{i} k_2).
\label{eq:3.135}
\end{equation}
�ł���. $j_1$, $k_1$, $j_2$, $k_2$�͎����ł���, $\mbox{i}=\sqrt{-1}$
�ł���. ���t�_����̈ʒu, ���x�x�N�g���̊e�����̉���$e^{\lambda_j t}$
�̌`�œ���ꂽ���Ƃ�, 2�̍�$e^{+(j+\mbox{i}k)t}$��
$e^{-(j+\mbox{i}k)t}$�̍��ň�v����Ƃ������Ƃ��������Ă���. 
����$j=0$�ł���Ȃ�, ���͐U�����ƂȂ�. �Ȃ��Ȃ�, $e^{+\mbox{i}kt}$
, $e^{-\mbox{i}kt}$�̓T�C���֐���,�R�T�C���֐��𐶂��邩��ł���.
 ������$j$�����̂Ƃ��͉��͎w���֐��I�ɐ�����, �ۓ����͈���ł�
�Ȃ��Ȃ�. �̂ɕ��t�_������ł��邽�߂ɂ͑S�Ă̌ŗL�l��������
�ł���K�v������. 
�ȉ��ł͎��ۂ̖��ł͂��̎����ǂ̂悤�ɓ����������Ă���. 

\newpage

\subsubsection{The Collinear Points}
Lagrangian Point�̒������t��$L_1$, $L_2$, $L_3$�ɂ��čl����.
�����̈ʒu�ł�, $y_0=0$, $(r^2_1)_0=(x_0+\mu_2)^2$, $(r^2_2)_0=
(x_0 -\mu_1)^2$�Ȃ̂�, 
\begin{equation}
 U_{xx}=1+2\bar{A},\ \ \ \ 
 U_{yy}=1-\bar{A},\ \ \ \ 
 U_{xy}=0.
\label{eq:3.136}
\end{equation}
�ŗL��������
\begin{equation}
 \lambda^4+(2-\bar{A})\lambda^2+(1+\bar{A}-2\bar{A}^2)=0,
\label{eq:3.137}
\end{equation}
�ƂȂ�.
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig312.eps}
  \caption{�ŗL�������̍��̎���(����)����(�j��)�����̒l. ������
 $log \mu_2$�ł���}
\end{center}
\label{fig:3.12}
\end{figure}

��Ƃ���, $\mu_2=0.01$�̂Ƃ���$L_1$�̈��萫��, 3.6�߂ł̒l
���g���čl���Ă݂�. 3.6�߂���, $x_0=0.848$, $y_0=0$. �܂�
$X_0=Y_0=10^{-5}$, $\dot{X}_0=\dot{Y}_0=0$, �Ƃ����,  
������ŗL�l��$\pm 2.90$, $\pm 2.31i$ �ƂȂ�.���̒l����
���t�_$L_1$�͕s����_���Ƃ������Ƃ�������. $\bar{\alpha}_j$, 
$\bar{\beta}_j$ �ɂ��ĉ�����, $X(t)$, $Y(t)$�̉���������.
\begin{equation}
\begin{aligned}
 X(t)=& 6.99 \times 10^{-6}e^{-2.90t}+4.96 \times 10^{-6}e^{+2.90t}\\
      & +1.96 \times 10^{-6}\cos 2.32t+2.54 \times 10^{-6}\sin 2.32t, \\
 Y(t)=& 3.25 \times 10^{-6}e^{-2.90t}-2.31 \times 10^{-6}e^{+2.90t}\\
      & +9.06 \times 10^{-6}\cos 2.32t+6.96 \times 10^{-6}\sin 2.32t, \\
\end{aligned}
\label{eq:3.138}
\end{equation}
�e����2���ڂ����$X$, $Y$���w���֐��I�ɐ������邱�Ƃ��킩��. 
�����̎��ԃX�P�[���͎��� $\mu_2$ �̃P�v���[������1/2.90�ł���.

$L_1$ �ɂ�������̎����Ƌ������[���łȂ��Ƃ��̒l��} 3.12
�Ɏ�����. $\mu_2$��0.1����0.001�܂ŕω������Ă���. ��q�����悤��,
 ����$\pm j$, $\pm i k$�̌`������. ������$j$, $k$�͎����ł���. 
$L_2$, $L_3$�̕��t�_�ł��l�͈Ⴄ�����l�Ƀv���b�g���邱�Ƃ��ł���.

�������̐����Ƃ���, �������̍���, �����̒萔�����Ɠ�����
�Ȃ�Ȃ��Ă͂Ȃ�Ȃ�. ����ČŗL��������
�ȉ��̎��𖞂���.
\begin{equation}
 (\lambda_1\lambda_2) (\lambda_3\lambda_4)=1+\bar{A}-2\bar{A}^2
\label{eq:3.139}
\end{equation}
�����Ŏ�(3.121), (3.122)���, $\lambda_1=-\lambda_2$, 
$\lambda_3=-\lambda_4$�ł���. �����̒l���S�ċ������琬��
(���t�_������)���߂ɂ�, $\lambda_1^2=\lambda_2^2<0$, 
$\lambda_3^2=\lambda_4^2<0$�ł���K�v������. �����, 
$1+\bar{A}-2\bar{A}^2=(1-\bar{A})(1+2\bar{A})>0$ �Ə�����. 
����Ē������t����$-1/2<\bar{A}<1$�̂Ƃ��Ɉ��肾�Ƃ������Ƃ�
�킩��. ������, ��(3.128) �ɒ������t���ł�$r_1$, $r_2$����
���Ă�, $\mu_2<1/2$�̂Ƃ�, $\bar{A}>1$�ƂȂ�. ���̂��Ƃ���
�������t���͑S�Ă�$\mu_2$�ŕs����ȉ��ƂȂ�̂ł���. ����, 
���͏�Ɏ�(3.138)�̂悤�Ȍ`������, ���ʂ̌����ƂƂ��ɌŗL�l��
�������Ă���. �����I�ɂ͒������t���ɕs���萫�����݂��邱�Ƃ�, 
x ����̊e�_�ŏd�͂Ɖ��S�͂��ω����邱�Ƃ��l���邱�Ƃŗ����ł���.
 2 ���ʂ��痣��Ă������Ƃ�, �d�͂̉e���͌���, ���S�͂͑傫���Ȃ�.
�̂�, �m����2���ʂ̊O����2�̕��t�_�����݂���. ���l�̗��R��, 
2���ʂ̊Ԃɂ����t�_��1���݂��邱�Ƃ��킩��. $x$���ɉ����đ���
���闱�q�ɓ����͕͂��t�_���痣�������������Ă���̂�, 
�������t���͑S�ĕs����ƂȂ�. 

������, �������������܂��Ƃ��, �������t���ߖT�ł������
�O���������Ƃ��ł���(Szebehely 1967). ����, �n��-���z��$L_1$
�_�t�߂ɂ�����SOHO(Domingo et al., 1995)�Ƃ����q����, 
����O���ɏ��Ȃ��瑾�z�ϑ����s���Ă���.

\subsubsection{The Triangular Points}
�����ł�Lagrangian Point�̐��O�p�`��$L_4$, $L_5$�ɂ��čl����.
���̏ꍇ, $r_1=r_2=1$, $x=1/2-\mu_2$, $y=\pm \sqrt{3}/2$ �ł���,
\begin{equation}
 U_{xx}=3/4,\ \ \ \ 
 U_{yy}=9/4,\ \ \ \ 
 U_{xy}=\pm 3\sqrt{3}(1-2\mu_2 )/4.
\label{eq:3.140}
\end{equation}
�ƂȂ�.
�ŗL��������
\begin{equation}
 \lambda^4+\lambda^2+\frac{27}{4}\mu_2 (1-\mu_2)=0.
\label{eq:3.141}
\end{equation}
�ƂȂ�. ����g���čl���Ă݂�. $L_4$���t�_�ɂ�, $\mu_2=0.01$
�Ƃ����, $x_0=0.49$, $y_0= \sqrt{3}/2$ �Ƃ������t�_�̈ʒu�𓾂�.
�������瓾����ŗL�l��, $\pm 0.963i$, $\pm 0.268i$ �ł���,
���̕��t�_�����肾�Ƃ������Ƃ��킩��. �ۓ��^���̉���
\begin{equation}
\begin{aligned}
 X(t)=& 3.45 \times 10^{-5}\cos 0.268t-2.45 \times 10^{-5}\cos 0.963t,\\
      & +3.07 \times 10^{-4}\sin 0.268t-8.55 \times 10^{-5}\sin 0.963t, \\
 Y(t)=& 5.20 \times 10^{-5}\cos 0.268t-4.20 \times 10^{-5}\cos 0.963t, \\
      & -1.76 \times 10^{-4}\sin 0.268t+4.90 \times 10^{-5}\sin 0.963t, \\
\end{aligned}
\label{eq:3.142}
\end{equation}
�ł���. ���̉��̓P�v���[�����̂��ꂼ��, 1/0.268, 1/0.963��2��
�����������ĉ^�����Ă���.

�}3.13�͎��ʂɂ���ČŗL�l���ǂ��ς��̂��������Ă���. �}����, 
$log \mu_2\approx -1.4$��臒l�Ƃ���, $log \mu_2$��
���̒l���傫���Ƃ��͌ŗL�l�������������Ƃ��킩��.
���̏ꍇ, �ŗL�l��$\pm j \pm ik$�̌`�ƂȂ�, ��ɐ��̎�����
����. ������, �^������$\mu_2$�͏\���������̂�, �ŗL�l��, 
��ɏ������ƂȂ�, �ۓ��^���͈���ƂȂ�. 

�}3.13�̉��̐U�镑����, �ŗL�������̉�͉����l���邱�Ƃ�
�����ł���. $U_{xx}$, $U_{yy}$, $U_{xy}$����(3.121), (3.122)
�ɑ�������, �ȉ��̎��𓾂�.
\begin{equation}
 \lambda_{1,2}=\pm \frac{\sqrt{-1-\sqrt{1-27(1-\mu_2)\mu_2}}}{\sqrt{2}}
\label{eq:3.143}
\end{equation}
\begin{equation}
 \lambda_{3,4}=\pm \frac{\sqrt{-1+\sqrt{1-27(1-\mu_2)\mu_2}}}{\sqrt{2}}
\label{eq:3.144}
\end{equation}
���̎�����, �ȉ������������ΑS�Ă̌ŗL�l�͏������ƂȂ�.
\begin{equation}
 1-27(1-\mu_2)\mu_2\geq 0 \nonumber
\end{equation}
\begin{equation}
 \mu_2 \leq \frac{27-\sqrt{621}}{54} \approx 0.0385
\label{eq:3.145}
\end{equation}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig313.eps}
  \caption{�ŗL�������̍��̎���(����)����(�j��)�����̒l. ������
 $log \mu_2$�ł���. �ŗL�l��臒l��$log \mu_2\approx -1.4$�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.13}
\end{figure}

�ŗL�l�͎������������Ȃ��Ƃ�, $k_1$, $k_2$�������Ƃ���, 
$\lambda_{1,2}=\pm ik_1$, $\lambda_{3,4}=\pm ik_2$�ƕ\�����.
������, $a_j$, $b_j$�������Ƃ���, $\alpha_j=\bar{a}_j+i\bar{b}_j$
�Ə�����, ��$X(t)$�͈ȉ��̌`�ŏ�����.
\begin{equation}
 \begin{aligned}
 X(t)=&(\bar{a}_1+i\bar{b}_1)e^{+ik_1t}+(\bar{a}_2+i\bar{b}_2)e^{-ik_1t} \\
      &+(\bar{a}_3+i\bar{b}_3)e^{+ik_2t}+(\bar{a}_4+i\bar{b}_4)e^{-ik_2t}.
 \end{aligned}
\label{eq:3.146}
\end{equation}
$Y(t)$�ɂ��Ă����l�ł���. ��(3.127)��$X$, $Y$, $\dot{X}$, 
$\dot{Y}$�������ł��邱�Ƃ���, $\bar{a}_1=\bar{a}_2=a_1$, 
$\bar{a}_3=\bar{a}_4=a_2$, $\bar{b}_1=-\bar{b}_2=b_1$, 
$\bar{b}_3=-\bar{b}_4=b_2$�ƂȂ邱�Ƃ��������Ƃ��ł�, e��
�W����, ���f�����̊֌W�����W���ŏ������Ƃ��ł���.
\begin{equation}
 \begin{aligned}
 X(t)=&(a_1+ib_1)e^{+ik_1t}+(a_1-ib_1)e^{-ik_1t} \\
      &+(a_2+ib_2)e^{+ik_2t}+(a_2-ib_2)e^{-ik_2t},
 \end{aligned}
\label{eq:3.147}
\end{equation}
$e^{i\theta}=\cos \theta +i \sin \theta$�ƌW�������f������
�֌W�������Ƃ���, ���̎��͈ȉ��̂悤�ɏ����Ȃ������Ƃ��ł���.
\begin{equation}
 X(t)=2a_1 \cos k_1t+2a_2 \cos k_2t-2b_1\sin k_1t -2b_2\sin k_2t.
\label{eq:3.148}
\end{equation}
�̂�, �ŗL�l���������܂܂Ȃ��Ȃ��, ���t�_���炸�炵���Ƃ���
���q�͐U������. �܂�, ���q�͕��t�_�t�߂ɂƂǂ܂�, ����ƂȂ�. 

��(3.145)�̏�Ԃ���������Ȃ��ꍇ, �ŗL�l�͎���������, 
$\pm (j \pm ik)$�̌`�ƂȂ�(�}3.13�̍������Q��). ���̏ꍇ, 
\begin{equation}
 \begin{aligned}
 X(t)=&(\bar{a}_1+i\bar{b}_1)e^{(j+ik)t}+(\bar{a}_1-i\bar{b}_1)e^{(j-ik)t} \\
      &+(\bar{a}_2+i\bar{b}_2)e^{(-j+ik)t}+(\bar{a}_2+i\bar{b}_2)e^{(-j-ik)t},
 \end{aligned}
\label{eq:3.149}
\end{equation}
\begin{equation}
 X(t)=2(a_1 e^{jt}+a_2e^{-jt})\cos kt-2(b_1e^{jt}+b_2e^{-jt})\sin kt.
\label{eq:3.150}
\end{equation}
�Ə������Ƃ��ł���.
���̉��͏�Ɏw���֐��I�ɐ�������.$Y$, $\dot{X}$, $\dot{Y}$
�ɂ��Ă����l�ł���. ���̂��Ƃ͗��q��������̋O����������
���t�_����O��Ă������Ƃ������Ă���. �܂肱�̓_�͕s����
�ƂȂ�.

�����ł܂�����ȏꍇ($\mu_2<0.0385$)�ɂ��čl����. ��(3.143), 
(3.144)����, 
\begin{equation}
 \lambda_{1,2}\approx \pm \sqrt{-1+\frac{27}{4}\mu_2}, \ \ \ \ 
 \lambda_{3,4}\approx \pm \sqrt{-\frac{27}{4}\mu_2}.
\label{eq:3.151}
\end{equation}
�����̎���, $\mu_2$���������Ƃ��͏������ł���, ���O�p�`���t�_
�ɑ΂��� 2 �̐U�����������ĐU�����邱�Ƃ��킩��. ���t�_$L_4$, $L_5$
�t�߂ł̐ۓ��^����2�̐U�����������Ƃ�, �X�Ȃ���𐶂���.
 ��(3.145)�̈�ʐ����キ�Ȃ�̂ł���. �����̐U�����̊Ԃ�
\textbf{����}(resonances)�̊֌W�������, ����L���̐��̎��ʔ�
�ɂ�����, ��(3.145)����������Ă��Ă��s����ƂȂ邱�Ƃ�
�N���肤��(Deprit \& Deprit-Bartholome 1967
).

\subsection{Motion near $L_4$ and $L_5$}
�����܂łōl���Ă����n��, $\mu_2$�̕��ω^����P�ʂƂ�, ������$2\pi$
�Ƃ�����̂ł�����. 3.7�߂ŋ��߂��ۓ��^���̎�����, 
$2\pi/\lambda_{1,2}$, $2\pi/\lambda_{3,4}$�ł���. ���̂��Ƃ���
���t�_�t�߂ł̗��q�̉^����2�̈قȂ�^������Ȃ��
�l���邱�Ƃ��ł���.
\begin{itemize}
 \item �Z������$2\pi/\lambda_{1,2}\approx 2\pi$�̉^��(���̎�����
    $\mu_2$�̎����ɋ߂�.), 
 \item ����������$2\pi/\lambda_{3,4}$��, \textbf{����}(libration)
    �Ƃ��Ēm����^��,
\end{itemize}
�ł���.

�����2�̉^���̐U����$\bar{\alpha}_j$, $\bar{\beta}_j$�ɂ����
���܂�, ���������ɂ���Č��܂�. ���q�̉^����, 
���t�_�̎���ł̒�������epicenter�̉^����, �Z������, 
epicenter ��
����ł̉^��(���]�~�^��)�ɕ����邱�Ƃ��ł���(�} 3.14). ���ʂƂ���
��(3.142) ���瓾���闱�q�O���̐��l���͐} 3.15�̂悤�ɂȂ�
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.6\linewidth]{./fig/fig314.eps}
  \caption{��(\ref{eq:3.142})�̉��̐}. ���]�~�O��(�����ȑȉ~)
    ��epicenter�̋O��(�傫�ȑȉ~)�������Ă���. epicenter ��
    �����Ȕ���, �\����$L_4$���t�_�ł���. ���t�_����ł�
    ���q�̋O���͎��]�~�^����epicenter �̉^���̑g�ݍ��킹��
    �������. }
\end{center}
\label{fig:3.14}
\end{figure}

���̉^���͕��t�_�ɑ΂���ۓ��^���ł���2�̉^���̌��ʂł���. 
���W�n�𕽍t�_��
���S�ɂ���30�K���v���ɉ�]�����邱�Ƃł��̉^����
�ȒP�����邱�Ƃ��ł���. �ϊ����$X$���͂��悻�P�ʉ~�ɐڂ���. 
�V�������W$(X', Y')$�͈ȉ��̎��ŏ�����.
\begin{equation}
 \left(
 \begin{array}{c}
  X'(t)\\
  Y'(t)  
 \end{array}
 \right)=
 \left(
 \begin{array}{cc}
 \cos 30�K& -\sin 30�K\\
 \sin 30�K& \cos 30�K
 \end{array}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{c}
  X(t)\\
  Y(t)
 \end{array}
 \right).
\end{equation}
$X(t)$, $Y(t)$�͎�(3.142)���猈�܂�, 
\begin{equation}
\begin{aligned}
 X(t)\approx & 3.54 \times 10^{-4}\sin 0.268t-9.85 \times 10^{-5}\sin 0.963t,\\
 Y(t)\approx & 6.23 \times 10^{-5}\cos 0.268t-4.86 \times 10^{-5}\cos 0.963t, \\
\end{aligned}
\label{eq:3.153}
\end{equation}

�p���x�ȊO�̎����̒萔�͋��E�����Ɉˑ����邪, ��]�����邱�Ƃ�
�O���̉��̂������̐V���Ȑ����������яオ���Ă���.
2�̉^���ɕ����邱�Ƃɂ��, �e�^������(2.40)
\footnote{��(2.40) : $(\bar{x}/a)^2+(\bar{y}/b)^2=1$}
�̌`�ŕ\����, �e�^�����ȉ~��`�����Ƃ��킩��. epicenter�̉^���̏ꍇ, 
���̋O���͈����L�΂��ꂽ�ȉ~�ƂȂ�. 3.10�߂ł͂��̑ȉ~��
�傫���� associated zero-velocity curve �̑傫����
����Č��܂�, �܂�, ���Z��, �������̊�����$b/a=(3\mu_2)^{1/2}$
�ŗ^�����邱�Ƃ�����. 
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.6\linewidth]{./fig/fig315.eps}
  \caption{���q��$L_4$���t�_�Ɋւ��Ĕ������Ă���ۂ̋O����
           ��]���W�n���猩���}. ���̋O���͈��萫���Ɋւ���
           ��(\ref{eq:3.142})�ɂ�����, $t=0$����25$\pi$�P��
           ����($\mu_2$�̎�����12.5�{)�܂ł̋O����`���Ă���.
           �j���͐}\ref{fig:3.14}�̎��]�~�^����epicenter��
           �O���ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.15}
\end{figure}

epicenter�̎���ł̎��]�~(epicyclic)�^���ł�, ���q�̋O����
�ȉ~�ł���, ���̑ȉ~�̔������Ɣ��Z���̒����̔��2:1��
�ߎ����邱�Ƃ��ł���. ��, ��]�n�ł̋O�����l���Ă��邪, 
���̉^����2.6�߂�2�̖��ɂ�����the guideing center approximation
�Ɠ����ł���. ����Ă����ł̎��]�~ �^����, ������$2e$, ���Z��
$e$�̑ȉ~�O�������P�v���[�^���Ƃ��čl���邱�Ƃ��ł���. 
���̏ꍇ$e\approx 5 \times 10^{-5}$�ł���. ���ۂ̉^����
����قǊȒP�ł͂Ȃ�, ���q�̗��S���͐ڐG�O���v�f�Ƃ��Ă�
���S���Ƃ��čl����K�v������, $\mu_2$����''�������ꂽ''���S��
(epicenter�̋O���������L�΂������ʂ��܂�)��
2:1�̎��]�~ �^���ɂ���ė^������''���R��''���S���Ƃ�
�d�ˍ��킹�Ƃ��čl����K�v������. ���Ȃ݂ɓK�؂ȏ���������
�^���邱�Ƃɂ����, ���]�~ �^���̋O�����������邱�Ƃ�
�ł�, ���̏ꍇ, ���q�̋O����epicenter�̋O���ƂȂ�.

\newpage

\subsection{Tadpole and Horseshoe Orbits}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{./fig/fig316.eps}
 \caption{$\mu_2=0.001$�ɂ�����, $L_4$���t�_�̎����
        Tadpole�O���̗�($L_4$�_�̍��W��$x_0=1/2-\mu_2, 
        y_0=\sqrt{3}/2$). �召�̍��ۂ͂��ꂼ�ꎿ��$\mu_1, \mu_2$
        �̕��̂ł���. (a)������Ԃ�$x=x_0+0.0065, y=y_0+0.0065, 
        \dot{x}=\dot{y}=0$�Ƃ�, $\mu_2$�̎�����15�{�̎��ԓ��ł̋O��.
         (b)������Ԃ�$x=x_0+0.008, y=y_0+0.008, 
        \dot{x}=\dot{y}=0$�Ƃ�, $\mu_2$�̎�����15.5�{�̎��ԓ��ł̋O��.}
\end{center}
\label{fig:3.16}
\end{figure}

$L_4$, $L_5$�ɑ΂���ۓ��^���͕��t�_�̋ߖT��, �܂��U����
�������ꍇ�݈̂Ӗ�������. ����͂܂�, ���t�_����̂��ꂪ
�傫���ꍇ�̉��𐄑����邱�Ƃ͂ł��Ȃ��Ƃ������Ƃ��Ӗ�����. 
������, ���q�̉^���������ɑ΂��Đ��l�ϕ����s�����Ƃ͉\�ł���. 
(3.2�߂̎�(\ref{eq:3.16})
\footnote{��(\ref{eq:3.16}): $ \ddot{x}-2n\dot{y}-n^2x =
 - [\mu_1 (x+\mu_2)/r_1^3+\mu_2(x-\mu_1)/r_2^3]$} 
, (\ref{eq:3.17})
\footnote{��(\ref{eq:3.17}): $ \ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y =
 - [\mu_1/r_1^3 + \mu_2/r_2^3]y$})

�} 3.16��$L_4$�ߖT�ł�$\mu_2=0.001$�ɂ�����2�̋O����, 
�^����������
���l�ϕ����Ď��������̂ł���. ���̒l�͑��z-�ؐ��̎��ʔ��
�����ł���. �}3.16a�̋O����, �}3.16b���������ʒu���킸����
$L_4$�ɋ߂�. �ǂ���̌��ʂł����q�O����$L_4$�O���ɂ��Ђ��Ⴐ�Ȃ���
�L�����Ă���. �}3.16a�ł͋O���̊g�����86�K�ɒB��,�}3.16b�ł�
115�K�ɒB����. 2�̎��ʂ�$L_4$�͐��O�p�`�𐬂��Ă���, 2�̎���
�����Ԑ�����P�ʒ����Ƃ��Ă��邱�Ƃ���, �} 3.16����, ���q�̋O��
������$\mu_1$�𒆐S�Ƃ���P�ʉ~�t�߂��^�����Ă��邱�Ƃ��킩��. 
���̋O���͂��̌`�ƃ[�����x�Ȑ��̌`����\textbf{Tadpole �O��}
�ƌĂ΂��. 
���R���S�����[���̎��ɋO���͂��P�ʉ~�ɋ߂Â�. Tadpole orbit
��$L_5$�̎���ł�������. 

������, ���������Ƃ���$L_4$, $L_5$����̋������ǂ̒��x���₷��
�ǂ������O�����ł���̂��Ƃ����^�₪������. �����̋�����
���₵���Ƃ��Ă����������������Ȃ�
�ꍇ, �O����$L_4$, $L_5$�_�����͂ޗl�Ȍ`�ƂȂ�. 
���̂悤�ȋO����\textbf{�n���`�O��}(Horseshoe orbit)�Ƃ���. 
�} 3.17 ��2�̔n���`�O���������Ă���. ���������� Taylor (1981)
�̘_������Ƃ���. �} 3.17b �ł�,���]�~�^���������Ȃ��悤
�ȏ����������Ƃ��Ă���.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig317.eps}
  \caption{$\mu_2=0.000953875$�ɂ�����2�̔n���`�O���̗�
         (Taylor 1981). (a)������� : $x=-0.97668, \dot{y}=-0.06118, 
        y=\dot{x}=0$
         (b)������� : $x=-1.02745, \dot{y}=0.04032, 
        y=\dot{x}=0$.}
\end{center}
\label{fig:3.17}
\end{figure}

�}3.16, 3.17��epicenter�̋O���Ɛ}3.9�̃[�����x�Ȑ����r�����
�ǂ����Ă���. ������, 3.10�߂Ŏ����悤��, $\mu_2$���������Ƃ�
2�̊Ԃɂ͖��ڂȊ֌W�����邪, �[�����x�Ȑ����O�����`����
�킯�ł͂Ȃ�. 
�} 3.16, 3.17�Ŏ����ꂽ�O�����[���̏������x�������Ƃ�
�l�����, �[�����x�Ɗ֘A���邱�Ƃ��킩��. �������[�����x�Ȑ���, 
���q��$L_4$, $L_5$ �ɋ߂Â������Ȃ��Ƃ������Ƃ�ۏ؂��Ă��邾��
�ł���, �O���̒������萫�ɂ��ĂȂ�玦����^������̂ł͂Ȃ�. 
������, �O����Jacobi �萔��$L_4$, $L_5$ �̒l�����������Ƃ�, 
�[�����x�Ȑ���`�����Ƃ͂ł���, �r���̈�����݂��Ȃ�����
���o���Ă����˂΂Ȃ�Ȃ�.

�����Ȏ��ʔ�ɂ�����^���������𐔒l�v�Z���邱�Ƃ�
�n���`�O����Tadpole �O���̐�����}�����邱�Ƃ��ł���. 
�}3.18�ł�, $\mu_2=10^{-3}$�̏ꍇ��, 3�̋O��(�n���`�O��1��, 
Tadpole �O��2��)�������Ă���. ������$\theta$��, �O����, $\mu_1$����
$\mu_2$�Ɉ�������������̊p�x
������. 3�̋O���͏����̗��S����$e\approx 0$�Ƃ��Ă���. 
�������͂��Ȃ�ω���, $L_4$, $L_5$�̕��t�_�ŒP�ʉ~����ł�
�傫������, �����̓_�Ŕn���`�O����Tadpole �O���̕���
�ő�ƂȂ�. �܂��O���͂��Ȃ�̔�Ώ̐������Ă���, 
�����$L_3$�_���n���`�O���̊O���Ɠ����̕���̒��S,$\theta=180�K$, 
�Ɉʒu���ĂȂ����Ƃ���킩��. �����ł�$r$�ł͂Ȃ�, $a$�̕ω���
���ăv���b�g���Ă��邪, $e\approx 0$�Ƃ��čl���Ă���̂łقƂ��
�Ⴂ�͂Ȃ�. �̂ɐ}3.16, 3.17�Ō���ꂽ�悤�ȃ��[�v�͌����Ȃ�.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig318.eps}
  \caption{$\mu_2=10^{-3}�ɂ�����$3�̋O���Ɋւ��锼����
        $a$��$\theta$�̊֐��Ƃ��ĕ\��������. �����ʒu��
        ����, ���t�_�͔���. �S�Ă̋O����$\mu_2$������100������
        �̋O���ł���. ���͉^���̕����ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.18}
\end{figure}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{./fig/fig319.eps}
  \caption{�}3.18 �̔n���`�O���ɂ�����(a)������$a$ �̎��ԕω�. (b)���S��
 $e$ �̎��ԕω�. �Ȃ�, ���ʔ��$\mu_2=10^{-3}$�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.19}
\end{figure}

$\mu_2=10^{-3}$�ɂ�����n���`�O���ł�$a$, $e$ �̎��ԕω���
�}3.19�Ɏ���. $\mu_2$�ɐڋ߂��邱�ƂŔ�r�I�ˑR��$a$���ω�����. 
���̂Ƃ��̋O��������$a$��$a>1$����$a<1$��, �܂��͂��̋t��
�ω�����(�}3.19a). ������$a=1 +\Delta a$�Ə���, $\theta=180�K$
����$\Delta a$���v�Z�����, �����[�����ۂ������. �����l
$\Delta a=0.020$�Ƃ���. ���̎�, 1��̐ڋߌ�ɂ�
$\Delta a=-0.0143$�ƂȂ�. ������, 2��ڂ̐ڋߌ�̒l��
$\Delta a=0.0198$�ƂȂ�, ���̌�̐ڋ߂ł͓����l��
�J��Ԃ����. ���̂��Ƃ�, $|\Delta a|$�̔�Ώ̐����n���`�O��
��1���邱�ƂŃL�����Z������邱�Ƃ������Ă���. 3.15�߂ł�
���̐�����, ��R�͂ɂ��O�������ɍR����悤�Ȕn���`�O����
���Ĉ�����
�ŗL�v�Ȃ��Ƃ�����(Dermotto et al., 1980, Dermott \& Marray 1981a). 
�}3.19b���玿��$\mu_2$�ւ̐ڋ߂�$e$�Ɋւ��Ă�, �l�ɂ���1����
�}���ȑ�����^���邱�Ƃ��킩��. �Őڋ߂Ǝ��̍ŐڋߊԂɂ�����
���S���̏����ȐU����, phase effects���d�v�ł��邱�Ƃ��������Ă���
($L_4$, $L_5$ �ł�, Tisserand �̔��莮�ɏ]����, �ő�̐U����
����). ���̂��Ƃ�, �Őڋ߂ɂ����闣�S����impulse��
�������鏕���ƂȂ�.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig320.eps}
  \caption{$\mu_2=10^{-3}�ɂ�����$3�̋O���Ɋւ��锼����
        $a$��$\theta$�̊֐��Ƃ��ĕ\��������. �����ʒu��
        ����, ���t�_�͔���. �א��� Tadpole �O���Ɋւ���
        �[�����x�Ȑ�. �S�Ă̋O����$\mu_2$������100������
        �̋O���ł���. ���͉^���̕����ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.20}
\end{figure}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=1.0\linewidth]{./fig/fig321.eps}
  \caption{�}3.20 �̔n���`�O���ɂ�����(a)������$a$ �̎��ԕω�. (b)���S��
 $e$ �̎��ԕω�. �Ȃ�, ���ʔ��$\mu_2=10^{-6}$�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.21}
\end{figure}

���ʔ�������������ꍇ�̌��ʂ��}3.20, 3.21�Ŏ�����Ă���. �����ł�
$\mu_2=10^{-6}$ �Ƃ��Ă���. $\mu_2$�������������̂�, �����̔�����
��$a=1.002$�Ƃ���($\Delta a$�̒l��1���������Ȃ��Ă���). 
�}3.20�ł�$\theta$�ɂ��$a$�̕ω����v���b�g���Ă���. $a$��, 
�}3.18�Ɠ����悤��, $L_4$, $L_5$(���ꂼ��$\theta =60�K, 300�K$)
�ōő�̕�������. ������, ����2�ɂ͂킸���ȈႢ������. 
�܂�, $L_3$�ł̑Ώ̐��̒��x��, $\mu_2$���������ꍇ�̂ق����ǂ�, 
$\theta=180�K$�ł�$L_3$�͂قƂ�Ǔ����O���ƊO���O���̒��Ԃ�
�ʒu���Ă���. ����, 2��Tadpole
�O����, �}3.18�Ɠ��l��, 45�K��135�K�̈ʒu����n�܂��Ă��邪, 
������$a$�̈Ⴂ�͐}3.18�̂��̂�菬����. ���̂��Ƃ���, Tadpole 
�O���̈�̔��a�����ւ̍L���肪, $\mu_2$���������Ȃ�ɂ�C������
�Ȃ邱�Ƃ��������Ă���. Tadpole �O���ł͔�r�̂���, �[�����x�Ȑ���
�}�����Ă���D�Ȃ�, �[�����x�Ȑ��̔��a�̕��͏��Tadpole �O���̔���
�ƂȂ�.

������$\mu_2$�ɑ΂���, �Ώ̐��̒��x���}3.21�Ŏ�����Ă���. ���̌v�Z
�ł͏���������$\Delta a=0.00200$�ł���, 1��ڂ̍Őڋߌ�ɂ�
$\Delta a=-0.00199$, 2��ڂ̍Őڋߌ�ɂ�$\Delta a=0.00200$
�ƂȂ��Ă���. �n���`�O���̒������萫�����̎����O���̑Ώ̐�
���琄���ł���Ƃ����, ������$\mu_2$�̔n���`�O����
�������萫�����Ƃ�����. $e$�̕ω��Ɋւ���l�@�ɂ��, 
�Őڋ߂ɂ�����U���ω��̃I�[�_�[�P�ʂł̕ω����܂��N���邱�Ƃ�
�킩��. ������, ���̑Ώ̐��͑傫��$\mu_2$�̏ꍇ����
����ɗǂ��Ȃ�.

��������������P�ʉ~�̊O���������͓����̂��悻�~�O���Ɉ�v
����悤�ɂƂ�Ƃ����, ���̗��q�O���̐�����, �P�ʉ~����̋�����
����Č��܂邱�Ƃ͖��炩�ł���. ��͓I�ɂ����l�I�ɂ��ǂ̂悤��$L_4$, 
$L_5$�ɋ߂Â����������Ă���. �����̊Ԋu����������ق�, 
���̌�̋O����$L_3$�̕����Ɉ����L�΂����(Tadpole�O��). 
�P�ʉ~����\�������_����o���������q��, $L_4$, $L_3$, $L_5$�ɂ���
��������O�����Ƃ�(�n���`�O��). ������, ���q���P�ʉ~����\������
�O������^�����Ă���ꍇ, epicenter �̉^����������͕ω�����, ���q��
�P�ʉ~�̓����Ⴕ���͊O����\textbf{�z��}(circulate)����O�������. 
Jacobi�萔�ɂ���Ă�$\mu_2$�ɏՓ˂��闱�q�����݉\�ł��邩������Ȃ�.
\newpage
\subsection{Orbits and Zero-Velocity Curves}
�[�����x�Ȑ��Ƃ͂���ʒu���W�Ƒ��x�������̂�, �^��
�\�ł���̈���`������̂ł�����. 
�} 3.15 �̋O���̃[�����x�Ȑ��͈����L�΂��ꂽ�`�����Ă���, ����
�����30�K�X���Ă���. ������, ���W���_�𕽍t�_�Ɉړ���, 
���W�n��30�x��]����, ����ɐV�������_�̎���œW�J���邱�Ƃ�
�O�p�`���ߖT�ł̃[�����x�Ȑ��̐U�镑���ɂ���
�l�@���邱�Ƃ��ł���. 
�����ł� $L_4$ ���t�_�̍��W $x=1/2 -\mu_2$, $y=\sqrt{3}/2$��
��ɂƂ��čl�@����. ��(\ref{eq:3.8})
\footnote{ ��(\ref{eq:3.8}): $r_1^2 =(x+\mu_2)^2+y^2+z^2$
}, (\ref{eq:3.9})
\footnote{��(\ref{eq:3.9}): $r_2^2 =(x-\mu_1)^2+y^2+z^2$}, 
�ɂ�����$x \rightarrow (1/2 -\mu_2)+x$, $y �� \sqrt{3}/2+y$��
�ϊ�����. 
�����, ���W�n��30�x�����v����ɉ�]�����邱�Ƃ�, $x\rightarrow 
\sqrt{3}x'/2+ y'/2$, $y \rightarrow -x'/2 +\sqrt{3}y'/2$ , 
�̍��W��V�������W ($x', y'$)�𓾂�. ���̉ߒ����, 
\begin{eqnarray}
 r_1^2 &=& 1+2y'+x'^2+y'^2 
 \label{eq:3.154}\\
 r_2^2 &=& 1-\sqrt{3}x'+y'+x'^2+y'^2 
 \label{eq:3.155}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�. ��(\ref{eq:3.22})
\footnote{��(\ref{eq:3.22}): 
$U=n^2(x^2+y^2)/2+\mu_1/r_1+\mu_2/r_2$}
����[�����x�Ȑ����`���邽�߂�, �ϊ����ꂽ������$C_J=2U$��,
�ȉ��̂悤�ɗ^������.
\begin{equation}
C_J=1-\mu_2-\sqrt{3}\mu_2x'+(2-\mu_2)y'+x'^2+y'^2
    +2\left(\frac{1-\mu_2}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}\right),
 \label{eq:3.156}
\end{equation}
������, $\mathcal{O}(\mu_2^2)$�͔����ʂƂ��Ė�������. ��(3.156)
��V�������W���_�̎���œW�J�����, �ȉ��̎��𓾂�.
\begin{equation}
 C_J \approx 3- \mu_2+\frac{9}{4}\mu_2 x'^2+3y'^2
 \label{eq:3.157}
\end{equation}
3���ȏ�̍��͖�����, �܂�, (i)$\mu_2$�͔����ʂƉ��肵�Ă��邱��, 
(ii)�}3.9�̃[�����x�Ȑ��ɂ����ē��a�����̋Ȑ��̕��͏�����
$\mu_2$�ɂ����Ă͏��������Ƃ���, $\mu_2 y'$���܂ލ�������
���Ă���. $\mu_2x$���ߎ����g�킸�ɏ�������Ă���_��
���ӂ��邱��. �����ł̋ߎ��͒P�ʉ~�ɉ������[�����x�Ȑ���
�䂪�݂𖳎����邱�ƂƓ����ł���. ������,
\begin{equation}
 C_J=3+\gamma \mu_2
\label{eq:3.158}
\end{equation}
�Ə�����Ƃ���. �����ł�$\gamma$�͏����ȗʂ�, $L_4$,$L_5$���t�_�ł�
-1�ɓ�����(��(\ref{eq:3.97})
\footnote{ ��(\ref{eq:3.97}) : $C_{L_4} \approx 3-\mu_2,$}, 
��(\ref{eq:3.98})
\footnote{��(\ref{eq:3.98}) :  $C_{L_5} \approx 3-\mu_2$}).
����Ǝ�(\ref{eq:3.157})��, 
\begin{equation}
 \frac{x'^2}{(4/9)(1+\gamma)}+ \frac{y'^2}{(\mu_2/3)(1+\gamma)}=1.
\label{eq:3.159}
\end{equation}
�Ə���������. �����, ��(2.40)
\footnote{��(2.40) : $ \left(\frac{\bar{x}}{a}\right)^2 
 + \left(\frac{\bar{y}}{b}\right)^2=1.$}
�Ɣ�r�����, ���̃[�����x�Ȑ���, ������, ���Z�����ꂼ��
$a'=(2/3)\sqrt{1+\gamma}, b'=\sqrt{\mu_2/3}\sqrt{1+\gamma}$
������, $L_4$���t�_�𒆐S�Ƃ���ȉ~�ƂȂ邱�Ƃ��킩��. 
$b'/a'=(1/2)\sqrt{3\mu_2}$�ł��邱�Ƃ���, $\mu_2 \rightarrow 0$
�ƂȂ�ɏ]��, ���̑ȉ~�͈����L�΂���Ă������Ƃ��킩��. 
���Ȃ݂�$b'/a'$��3.8�߂ł�guiding center�̉^���ł̒l��2�{
�ł���, �[�����x�Ȑ��̌`�����q�̋O���Ɏx�z����邱�Ƃ�����
���Ă���. ������$\mu_2\ll \mu_2^{1/2}\ll \mu_2^{1/3}\ll 1$�ł���
�ꍇ�̃[�����x�Ȑ��Ǝ��ۂ̋O���̊֌W�ɂ��čl���Ă݂�.
�܂�, �����ł͗��q�̗��S���̓[���ɋ߂��Ɖ��肵, �̂�, ���q��
�����^���ɑ΂�����]�~�^���͎����㖳�����邱�Ƃ��ł���.

�܂�, ��(\ref{eq:3.94})-(\ref{eq:3.98})
\footnote{$ 
\begin{aligned} 
 ��(\ref{eq:3.94}) :& C_{L_1} \approx 3+3^{4/3}\mu_2^{2/3}-10\mu_2/3
 \nonumber \\
 ��(\ref{eq:3.95}) :& C_{L_2} \approx 3+3^{4/3}\mu_2^{2/3}-14\mu_2/3,
 \nonumber \\
 ��(\ref{eq:3.96}) :& C_{L_3} \approx 3+ \mu_2,
 \nonumber \end{aligned}$}
��O���ɂ�����, tadpole�O���̂悤�Ȍ`�𐶂���[�����x�Ȑ���, 
$\gamma$�ɂ����
�����t���邱�Ƃ��ł���.
\begin{equation}
 -1\le \gamma \le +1. 
\label{eq:3.160}
\end{equation}
�����l��$L_4$, $L_5$���t�_�ɂ�����$C_J$�ł̒l,����l��
$L_3$���t�_�ł̒l�ł���.
�n���`�O���̌`�̏ꍇ��,
\begin{equation}
 C_J=3+\zeta \mu_2^{2/3}+\mathcal{O}(\mu_2)
\label{eq:3.161}
\end{equation}
where
\begin{equation}
 0\le \zeta \le 3^{4/3}. 
\label{eq:3.162}
\end{equation}
���̏ꍇ�̉����l��$L_3$���t�_�ł�$C_J$�ƈ�v����.����l��
$L_1$, $L_2$�ł̒l�ł���. �̂�, $\gamma$��������$\zeta$
���[�����x�Ȑ���tadpole��n���`�̌`�����߂�p�����[�^�[
�ł���ƍl������. 

$U$�ɂ��Ă̎�(\ref{eq:3.64})
\footnote{��(\ref{eq:3.64}) : $U=\mu_1\left(\frac{1}{r_1}
+\frac{r_1^2}{2}\right)
   +\mu_2\left(\frac{1}{r_2}+\frac{r_2^2}{2}\right)
   -\frac{1}{2} \mu_1 \mu_2.$}
���g��, $n=1$�Ƃ����,
\begin{equation}
 2U=2\frac{\mu_1}{r_1}+\mu_1 r_1^2+2\frac{\mu_2}{r_2}+\mu_2 r_2^2
    -\mu_1 \mu_2,
\label{eq:3.163}
\end{equation}
�𓾂�. �܂���(\ref{eq:3.28})����,
\begin{equation}
 v^2=\dot{r}^2+(r\dot{\theta})^2=2U-C_J
\label{eq:3.164}
\end{equation}
�����ł�$\mu_2 \ll 1$�ƍl���Ă��邽��, $r_1$��$r$����ʂ��Ȃ�.

������, �����̋O�����قƂ�ǉ~�ł���, �P�ʉ~�ɋ߂����ɑ��݂���
�Ƃ���Ƃ��čl���Ă݂��, $\delta r\ll 1$�Ƃ���,
\begin{equation}
 r=1+ \delta r.
\label{eq:3.165}
\end{equation}
���̂悤�ȏꍇ, $\dot{\theta}=0$, $\dot{r}\neq 0$�ƂȂ�
����$\mu_2$�ߖT�ȊO�ł�$|\dot{r}|\ll|r\dot{\theta}|$�����藧��.
�̂�, �قƂ�ǂ̎��Ԃɂ����ĉ^���̓P�v���[�^���Ƃ݂Ȃ����Ƃ��ł�,
\begin{equation}
 v\approx r\dot{\theta}=-\frac{3}{2} \delta r,
\label{eq:3.166}
\end{equation}
�����藧��. �����悤�ȋߎ��ɂ��, ��(\ref{eq:3.163})��$2U$
���ȒP�����邱�Ƃ��ł���. $\mathcal{O}(\mu_2)$�܂ł̍���
�c����, 
\begin{equation}
 2U=3+3\delta r^2 +\mu_2H,
\label{eq:3.167}
\end{equation}
where
\begin{equation}
 H=\frac{2}{r_2}+r_2^2-4,
\label{eq:3.168}
\end{equation}
�̂�, $v^2=2U-C_J$�Ǝ�(\ref{eq:3.164})���g���Ĉȉ��̎��𓾂���.
\begin{equation}
 \frac{9}{4}\delta r^2=3+3 \delta r^2+\mu_2 H-C_J.
\label{eq:3.169}
\end{equation}
�[�����x�Ȑ���ł�$v^2=0$�Ȃ̂�, �[�����x�Ȑ���
�ȉ��̎��Œ�`����邱�ƂɂȂ�. 
\begin{equation}
 0=3+3\delta r^2_{zv}+\mu_2 H_{zv}-C_J
\label{eq:3.170}
\end{equation}
�Y����$zv$�͋O���ł͂Ȃ�, �[�����x�Ȑ�����Ƃ���
�L�q���ꂽ�ʂł��邱�Ƃ�����. $C_J$�͒萔�ł���̂�, 
��(\ref{eq:3.169}), (\ref{eq:3.170})����
\begin{equation}
 \delta r^2=(2\delta r_{zv})^2 +\frac{4}{3}\mu_2(H_{zv}-H).
\label{eq:3.171}
\end{equation}
tadpole �^���ł�, �n���`�O���ɂ����Ă�, $H_{zv}-H\sim \delta r$, 
$\mu_2 \delta r\ll \delta r^2$�ł���.�̂�guiding center 
�̉^���ł�, 
\begin{equation}
 \delta r=2\delta r_{zv},
\label{eq:3.172}
\end{equation}
��������, guiding center �̒P�ʉ~����̓��a�����̍��͏��
�[�����x�Ȑ��̂����2�{�ƂȂ邱�Ƃ��킩��
(Dermott \& Murray 1981a).

�n���`�O���̏ꍇ�͎�(\ref{eq:3.161}), (\ref{eq:3.162})
���K�p����, 
\begin{equation}
\begin{aligned}
 3+\frac{3}{4}\delta r^2 + \mu_2 H &=3+\zeta
 \mu_2^{2/3}+\mathcal{O}(\mu_2),\\
 3+3\delta r_{zv}^2 + \mu_2 H_{zv} &=3+\zeta \mu_2^{2/3}+\mathcal{O}(\mu_2),
\end{aligned}
\label{eq:3.173}
\end{equation}
�ƂȂ�. ���̂��Ƃ���, ������$\mu_2$�ɑ΂���$\mu_2^{2/3} \gg \mu_2$
�ł��邱�Ƃ��g����,
\begin{equation}
 \delta r=2\delta r_{zv}=2(\zeta /3)^{1/2}\mu_2^{1/3} .
\label{eq:3.174}
\end{equation}
tadpole�O���ɂ����Ă͎�(\ref{eq:3.158}), (\ref{eq:3.160})
���K�p����, 
\begin{equation}
  3+\frac{3}{4}\delta r^2 + \mu_2 H =3+\gamma \mu_2,\ \ \ \ 
 3+3\delta r_{zv}^2 + \mu_2 H_{zv} =3+\gamma \mu_2.
\label{eq:3.175}
\end{equation}
�̂�
\begin{equation}
 \delta r \approx 2\delta r_{zv}=2[(\gamma -H)/3]^{1/2}\mu_2^{1/2},
\label{eq:3.176}
\end{equation}
�ƂȂ�. �����ł�, guiding center �̒P�ʉ~����̓��a�����̍��͏��
�[�����x�Ȑ��̂����2�{�ƂȂ��Ă���.

$L_4$, $L_5$�̕��t�_�̏����ȐU���ɂ��Ă�3.8�߂Ō��Ă��Ă���.  
�܂�,$ \delta r \approx 2\delta r_{zv}$����, guiding center�̑ȉ~�O���̔��Z����, �[�����x�Ȑ��������ȉ~��
���Z����2�{�ł���. ���̎咣����킩�邱�Ƃ�3����, 
�܂�, ��(3.153)\footnote{
$ \begin{aligned}
X(t)\approx & 3.54 \times 10^{-4}\sin 0.268t-9.85 \times 10^{-5}\sin 0.963t,\\
 Y(t)\approx & 6.23 \times 10^{-5}\cos 0.268t-4.86 \times 10^{-5}\cos 0.963t.
\end{aligned}$}�Ő��l�I�ɓ����ꂽ���q�̉^����, �ȉ��̎���
�^������Ƃ������Ƃ��������Ă���.
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  X'(t)&=a\sin \lambda_3(t-t_3)-2e\sin \lambda_1(t-t_1)\\
  Y'(t)&=(3\mu_2)^{1/2} a \cos \lambda_3 (t-t_3)-e\cos \lambda_1 (t-t_3)
 \end{aligned}
\label{eq:3.177}
\end{equation}
$\lambda_1$, $\lambda_3$��2�̌ŗL�p���x�ł���, 4�̔C�Ӓ萔
$a$, $e$, $t_1$, $t_3$�͏�������, $X'(0)$, $Y'(0)$, $\dot{X}'(0)$, 
$\dot{Y}'(0)$�ɂ���Č��߂���. 2�Ԗڂ�, ������$e$�ɂ����Ă�
guiding center�̉^����$e$�Ɉˑ����Ȃ��Ƃ������Ƃ������Ă���. 
3�Ԗڂ�, �ł��d�v�Ȃ��ƂƂ���, $L_4$, $L_5$�_�t�߂ł̏�����
�U�����l�����Ƃ���guiding center�̋O���ƃ[�����x
�Ȑ��̊֌W����ʓI�ɐ�����, �n���`�O����
�^�����܂ނ�����U���̉^���ɓK�p���邱�Ƃ��ł��邱�Ƃ���������
����. ��������͂��̌��ʂ��g���čX�Ȃ�^���̉�͂��s��.

$L_4$, $L_5$���t�_����\�����ꂽ�_�ł̋O����, $L_3$�܂�
�K����L�΂��������܂��Ⴍ���̂悤�ȋO���ƂȂ�. �����̋O����
�ő�p�ƍŏ��p�̊p�x�̍L�����Jacobi�萔���g����
�v�Z���邱�Ƃ��ł���. ��(\ref{eq:3.173}), (\ref{eq:3.175})��
�ȉ��̂悤�ɏ����Ȃ������Ƃ��ł���.
\begin{equation}
 \frac{3}{4}\delta r^2+\mu_2 H(\theta)=constant,
\label{eq:3.178}
\end{equation}
$\theta$��$\mu_1$����ł̗��q�̎���$\mu_2$����̊p�x�ł���, 
$\mu_1$�𒸊p�Ƃ���2����3�p�`�̐������瓱�����
$r_2=2\sin (\theta/2)$�̊֌W���g����,
\begin{equation}
 H(\theta)=\left(\sin \frac{\theta}{2}\right)^{-1}
           -2 \cos \theta -2,
\label{eq:3.179}
\end{equation}
�𓾂�. 
��(\ref{eq:3.178})�ł̒萔��, tadpole �ł�$\gamma \mu_2$, 
�n���`�O���ł�$\zeta \mu_2^{2/3}$�ł���.

���q�O�����2�_$(r_i, \theta_i), (r_j, \theta_j)$�ɂ���
�l����. �����̋ɍ��W�͈ȉ��̊֌W�𖞑�����.
\begin{equation}
 \delta r_i^2-\delta r_j^2=-\frac{4}{3}\mu_2[H(\theta_i)-H(\theta_j)]
\label{eq:3.180}
\end{equation}
���̊֌W�͗��q�̋O����tadpole�̏ꍇ�ł��n���`�̏ꍇ�ł������ł���.
�}3.22��$H(\theta)$��$\theta$�̊֐��ŕ\�������̂ł���. 
tadpole�O���̏ꍇ�͉^���̋Ɍ��ł�, $\delta r_i=\delta r_j=0$�ł�
�邱�Ƃ��킩��̂�, ���̓_�ł�$H(\theta_i)=H(\theta_j)$
�ƂȂ�. ���̕�������2�̉�$\theta_{min}$, $\theta_{max}$, 
����$\mu_2$����̍ŏ��p�x,�ő�p�x, 2�̊p�x�̍�
$D=\theta_{max}-\theta_{min}$ �͔����^���̐U����^����.
�}3.22��$H(\theta)$�̌`����, �}3.18, 3.20�ł�tadpole �O����
�U�����傫���Ȃ�قǈ����L�΂���Ă������Ƃ������ł���.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig322.eps}
  \caption{��(\ref{eq:3.179})����$H(\theta)$�̒l��, tadpole �O��
           �̏ꍇ��$\theta$�̊֐��Ƃ��ăv���b�g���Ă���. 
           $L_4$�ł�$\theta$�͉��̎���, $L_5$�ł�$\theta$��
           ��̎��Ŏ����Ă���.}
\end{center}
\label{fig:3.22}
\end{figure}

$\theta_i=180��$, $\delta r_i=0$�̏ꍇ���l����. �����critical 
tadpole �̋O���ł���. $H(180��)=1$�Ȃ̂�, ��(\ref{eq:3.180})
�� 
\begin{equation}
 \delta r_j^2=\frac{4}{3}\mu_2[1-H(\theta_j)],
\label{eq:3.181}
\end{equation}
�ƂȂ�. $H(\theta)\geq -1$�Ȃ̂�tadpole �O���ł͈ȉ��̕�����
����������Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�. 
\begin{equation}
 \delta r \leq \delta r_{crit}=\left(\frac{8}{3}\right)^{1/2}\mu_2^{1/2}.
\label{eq:3.182}
\end{equation}
�̂�, $\mu_2$���킩���Ă���, $e$���������ꍇ�ɂ�, 
$\delta r$(���Ȃ킿����$\mu_2$����̊p�x)��1��ϑ������
���q�^����tadpole �O���ł��邩�ǂ���������ł��邱�ƂɂȂ�.

$\theta_i=180��$��$\delta r_i=\delta r_{180}\neq 0$
�̏ꍇ���l���Ă݂�. ���̎�, $\zeta\leq 3^{3/4}$
�ł���Η��q�͔n���`�O��������, $\delta r_j=0$, 
$\theta_j=\theta_{min}$�̂Ƃ��O���̓���ւ����N����. 
�����͈ȉ��̎��Ŋ֌W�t������.
\begin{equation}
 \delta r^2_{180}=\frac{4}{3}\mu_2[H(\theta_{min})-1],
\label{eq:3.183}
\end{equation}
�܂�, ���̊֌W�͗��q�Ǝ���$\mu_2$�̍Őڋߋ����̕]����
�g����. ����ɔn���`�^���̏ꍇ, $\theta_{min}$���ϑ����邱�Ƃ�
$\mu_2$�����肷�邱�Ƃ��ł���. tadpole�O���̏ꍇ��
$H(\theta_{min})=1$��$\delta r_{180}=0$, $\theta_{min}$�ƂȂ�,
��������, �S�Ă�$\mu_2$�ɂ�����$\theta_{min}=23.5��$�Ƃ������Ƃ��킩��.

\newpage
\subsection{Trojan Asteroids and Satellites}
���z�n�̑S�Ă̑��z-�f���Ԃ̊֌W�ɂ����Ď�(\ref{eq:3.145})��
��������Ă���. ���l�ɘf��-�q���n�ł����̊֌W���݂������̂�
���݂��Ă���. Table 3.1�ɑ��z-�ؐ��n�ł̐��O�p�`���t�_
�t�߂�Tadpole �O���ŉ^�����Ă��鏬�f���̈ꗗ���ڂ���. 
������\textbf{Trojan asteroids}(�g�������f���Q)�Ƃ���
�m���Ă���.1998�N�܂łɔ������ꂽTrojan asteroids ��450
����, $L_4$�_�t�߂̂��̂�``Greeks'', $L_5$�_�t�߂̂��̂�
``Trojan''�ƌĂ�. 

�}3.23��1997�N12�����_�ł̑��z-�ؐ��n�ł̃g�������f���Q��
���z�ł���.(a)�͏��f���̈ʒu�������ʂɓ��e���Ă���, 
(b)�ł͑��z-�ؐ������Ԓ����ɉ����Č������̂ł���, �g�������f���Q
�̐��������̍L���肪�킩��.
�g�������f���Q�̂悤�ȏ��f���͑��z-�ؐ��n�����ł͂Ȃ�, 
���z-�ΐ��n, ���z-�n���n�ɂ����݂���.
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.75\linewidth]{./fig/fig323.eps}
  \caption{(a)1997�N12��18��0:00�ł̖ؐ��ߖT�ł̏��f����
          ���z. �e�_�͏��f���̈ʒu�������ʂɓ��e�������̂ł���.
           (b)�ؐ����瑾�z���������ɉ�����, ���f���̐������z. 
           �j���͖ؐ��̋O���ʂł���.}
\end{center}
\label{fig:3.23}
\end{figure}

�ؐ�, �ΐ��̃g�������f���Q�͑��z-�f���n�ɂ����锉���^����
��ł���. �����̓g�������f���Q�Ƃ��Ă΂�Ă�����, ���ʂ�
\textbf{���O���q��}(coorbital satellites)�ƌĂ΂��. coorbital
�Ƃ������t�́C���XJanus ��Epimetheus �̔z�u�ɂ��Č��y���邽��
�ɗp����ꂽ���t�ł��邪, ���͂����Ƒ傫�Ȕ����������̂ɑ΂��Ă�
�������Ă���. ���Ȃ݂ɋ��O���q���͓y��-�q���n�ɂ�
���݂��邪�ؐ�-�q���n�ɂ͑��݂��Ȃ�. ���̈Ⴂ��tadpole �O����
�n���`�O���̑��ΓI�ȕ��ɋN������ƍl�����Ă���.

3.9�߂̈قȂ鎿�ʔ�̋O���}���炱�̌��ۂɑ΂��鎦����
�^�����Ă���. ��(\ref{eq:3.174}), (\ref{eq:3.176})��
��r����Ɣn���`�O���̕���$\sim \mu_2^{1/3}$tadpole�O����
����$\sim \mu_2^{1/2}$�ɔ�Ⴗ�邱�Ƃ��킩��. ��������
2�̋O���̕��̔�$R$�� $\sim \mu_2^{1/6}$���x�̑傫��
�ł���, $R$����������ɂ�$\mu_2$���������ƌ�������.
$\mu_2 \approx 10^{-3}$��$R\approx 0.3$, 
$\mu_2 \approx 10^{-9}$�ł�$R\approx 0.03$�ƂȂ�. ���̂��Ƃ���
�����Ȏ��ʔ�ł͔n���`�O�������N����₷���Ȃ�Ƃ������Ƃ�
�������Ă���. �ؐ��ŋ��O���q���������Ȃ��̂�, �傫�Ȏ��ʔ�
�����X�������邩�炩���m�ꂸ, �n���`�O���͐ۓ��V�̂�tadpole 
�O���̏ꍇ�����߂Â��₷���̂Ŕn���`�O���̈ێ�����鎞�Ԃ�
�Z���������ƍl������. Dermott \& Murray(1981a) �͗��q��2���
$\mu_2$�ւ̐ڋ߂��o��������ł�$|\Delta a|$�̐i�����l���邱�Ƃ�, 
�n���`�O���ɂ��闱�q��, $\Gamma =T/\mu_2^{3/5}$�̎��ԃX�P�[��
�Ŏ����Ă����ƍl����.

\subsection{Janus and Epimetheus}
�S�Ẵg�������f���Q��O�߂ŏq�ׂ��y����
�q����tadpole�O�����^�����Ă��邱�Ƃ��m���Ă���. 
������, �}3.9�̃[�����x�Ȑ���
�`�Ɏ���, $L_4$, $L_5$, $L_3$���t�_�̎���𔉓�����悤��
�O�����^�����鏬�f�������݂��邱�Ƃ͉\�ł���. 
���̂悤�Ȕn���`�O���������f���̑��݂�, �̂���
���_�I�ɂ͎�����Ă�����, 
���ۂɑ��z�n���Ŕ������ꂽ�͍̂ŋ߂̂��Ƃł���. 

1980�NVoyager I �ɂ���ēy���ɂ�����, Janus ��Epimetheus
�Ƃ���2�̉q�����������ꂽ. �������̔�������Janus, Epimetheus 
���ꂼ��, $a_J=151472$km, $a_E=151422$km , ���̒��a�͂��ꂼ��
��175km, 105km�ł�����. �����͂���2�̉q���͏Փ˂����
�l�����Ă�����, ���̌�̉�͂̌���, �����̉q���̋O����
�~�������̔n���`�O������1�ł��邱�Ƃ��킩����. 
Janus-Epimetheus�n�� 
$\mu_2=5\times 10^{-9}$, $\delta r=3\times 10^{-4}$����,
��(3.182) $\delta r >\delta r_{crit}\approx 17$km, ��(3.174)
$\zeta =0.02<3^{4/3}$�𖞂����Ă���̂�, Epimetheus ��
�n���`�O�����^�����Ă���.

������, �q���̉摜����Epimetheus�̎��ʂ�, Janus�ɔ�ז����ł��Ȃ�
 ���Ƃ��킩��(���݂͎��ʔ䂪0.25�ł��邱�Ƃ��m���Ă���.), 
�̂�, �ڋߎ���2�̉q���̑��ݐۓ����d�v�ł���ƍl����ꂽ. 
����, ���ꂩ�猩�Ă����悤��, 2�̉q���̋O����, �n���`�O���������ό`�������̂ł���. 
2�̉q���̉^����, �y���𒆐S�Ƃ���2�̉q���̕��ω^���̕���
�ŉ�]����n���猩���, Janus ��Epimetheus�͊e�X�n���`�O����
�`���Ă���. $W_J$, $W_E$�����ꂼ��Janus , Epimetheus�̔�����
���Ƃ����, �e�q���O�����~�Ɖ��肵��, �p�^���ʕۑ����l���邱�Ƃ�,
�ȉ��̎������藧��.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.6\linewidth]{./fig/fig324.eps}
  \caption{�n���`�O����`��$m_1$, $m_2$�ɂ��Ă̊􉽊w�I�z�u�}.
           $m_c$�͒��S����. $C_1$��$m_1$��$m_c$�̏d�S. $C$��
           �n�̏d�S. }
\end{center}
\label{fig:3.24}
\end{figure}
\begin{equation}
 m_J W_J=m_E W_E
\label{eq:3.184}
\end{equation}

3.5�߂Ɠ������@�ł��̌n�̗͊w�I�����ɂ��čl�@���Č���. 
$m_2<m_1$�ł���悤��2�̎���$m_1$, $m_2$���l����. 
����2��, �~�ɋ߂��O����, �����ȋO�����a�̍���
���S����$m_c$�̎�����P�v���[�^�����Ă�����̂Ƃ���(�}3.24). 
$C_1$��$m_1$��$m_c$�̏d�S, $C$�͌n�̏d�S�Ƃ����, $C_1$, $C$, $m_2$
�͈꒼����ɕ���. ����$m_2$��$m_c$, $m_1$�̏d�͂��󂯂Ȃ���^������.
 ���̗͂�$C$����$R_2$�����������Ƃ���ɐ�����$T_2$�̐����ɕ�������.
 2.9��(��(2.149)
\footnote{��(2.149) : $\frac{dh}{dt}=r\bar{T}$}
)���ڐ������̗͂������p�^���ʂ̕ω���
�����N����. ��(2.145)
v\footnote{��(2.145) : $\frac{da}{dt}=2\frac{a^{3/2}}{\sqrt{\mu(1-e^2)}}
               [\bar{R}e\sin f+\bar{T}(1+e\cos f)].
$}
��$e_2=0$�̉�����g����, 
\begin{equation}
 \dot{a}_2=2T_2/n_2,
\label{eq:3.185}
\end{equation}
$a_2$, $n_2$�͂��ꂼ��$m_2$�̔������ƕ��ω^���������Ă���. 
�����ł�guiding center ��epicyclic�^�����l��, ���R���S����
�������Ƃ���guiding center�̉^���ɂ͉e�����Ȃ����̂Ƃ���.
���l�v�Z�̌��ʂ���, ���̋ߎ������������Ƃ͂킩���Ă���.

$m_2$�ɓ����ڐ������̗͂�$m_c$, $m_1$�ɂ���^�ł���. �}3.24
����,
\begin{equation}
 T_2=\left(-Gm_1/r_2^2 \right)\sin \gamma, 
+\left(-Gm_c/r^2 \right)\sin \beta,
\label{eq:3.186}
\end{equation}
$C_1$�̒�`��$m_2$���P�ʉ~�t�߂ɂ���Ƃ������肩��,
\begin{equation}
 \sin \gamma =\frac{m_c}{m_c+m_1}\frac{r}{r_0}\cos \frac{\theta}{2}
\label{eq:3.187}
\end{equation}
\begin{equation}
 \sin \beta =\frac{m_1}{m_c+m_1}\frac{r}{r_0}\sin \theta
 \label{eq:3.188}
\end{equation}
and
\begin{equation}
 \frac{r}{r_0}=\frac{m_c+m_1}{m_c}
 \left[a*4\frac{m_1}{m_c}\left(\frac{m_c+m_1}{m_c}\right)\sin^2 \frac{\theta}{2}\right]^{-1/2}\approx \frac{m_c+m_1}{m_c},
 \label{eq:3.189}
\end{equation}
�����藧��. �ŉE�ӂ̋ߎ���$\theta$����������, 
$m_1\ll m_c $�ł���ꍇ�ł���
�g���Ȃ���, ���̌덷�͂����ł̌��ʂɉe�����y�ڂ��Ȃ�. �̂�
\begin{equation}
 T_2=-\left(gm_1/r^2\right)\bar{H}(\theta),
 \label{eq:3.190}
\end{equation}
\begin{equation}
 \bar{H}(\theta)=\frac{\cos (\theta/2)}{4\sin^2(\theta/2)}-\sin \theta
 \label{eq:3.191}
\end{equation}
���Ȃ݂�$\bar{H}(\theta)=-(1/2)dH(\theta)/d\theta$�ł���. 
���l��$m_1$�ɑ΂��ē����ڐ������̗͂�, 
\begin{equation}
 T_1=+\left(gm_2/r^2\right)\bar{H}(\theta),
 \label{eq:3.192}
\end{equation}
�ł���.

�����܂ł̌��ʂɂ��, 2�̎��ʂ̊Ԃ̌o�x�ω��ɂ�鎿�ʂ�
�������̒����̕ω����v�Z���邱�Ƃ��ł���. �������̒����̍���
\begin{equation}
 s=a_2-a_1,
 \label{eq:3.193}
\end{equation}
�Ƃ����, ��(3.185)��� 
\begin{equation}
 \dot{s}=\dot{\theta}ds/d\theta=-2(T_1-T_2)/n,
 \label{eq:3.194}
\end{equation}
$n$�͊e���ʂ̕��ω^���̕��ςł���. �P�v���[�̑�3�@�����
$\dot{\theta}/n=-(3/2)s/a$. $a$�͊e���ʂ̕��ς̔������ł���. 
$ds/d\theta$ �����E����$(s_i, \theta_i)$, $(s_j, \theta_j)$
�ŉ�����,
\begin{equation}
 \left(\frac{s_i}{a}\right)^2- \left(\frac{s_j}{a}\right)^2
  =\frac{8}{3}g\frac{m_1+m_2}{n^2a^3}\int{\theta_i}{\theta_j}
   \bar{H}(\theta)d\theta
  =-\frac{4}{3}g\frac{m_1+m_2}{n^2a^3}\left[H(\theta_i)-H(\theta_j)\right],
 \label{eq:3.195}
\end{equation}
�𓾂�. ��(\ref{eq:3.191})����, $\bar{H}(\theta)$��$\pm 60�K$
�̎��[���ƂȂ�. �̂ɕ��ω^��$n$�̉�]���W�n����,�S�Ă̕��̂������
���t�_�̈ʒu��1�ӂ�$r$�̐��O�p�`�ƂȂ�. ���̎���$n$��
\begin{equation}
 n^2r^3=g(m_c+m_1+m_2).
 \label{eq:3.196}
\end{equation}
������$r\approx a$�����肵, �����̖����l, $m_c+m_1+m_2\approx m_c$
�����肵���̂�, ��(3.195)��
\begin{equation}
 \left(\frac{s_i}{a}\right)^2- \left(\frac{s_j}{a}\right)^2
  =-\frac{4}{3}\frac{m_1+m_2}{n^2a^3}\left[H(\theta_i)-H(\theta_j)\right]
 \label{eq:3.197}
\end{equation}
�ƂȂ�. ����͎�(\ref{eq:3.180})��$m_2\ll m_1$ �ł���ꍇ�̎��ł���. 
����2�̎��͋O���ƃ[�����x�Ȑ��̊֌W�̈�ʐ��������Ă���. 
���l�Ɏ�(\ref{eq:3.182}), (\ref{eq:3.183})��
\begin{equation}
 \left(\frac{s}{a}\right)_{crit}
  =\left(\frac{8}{3}\right)^{1/2}
   \left(\frac{m_1+m_2}{m_c}\right)^(1/2)
 \label{eq:3.198}
\end{equation}
and
\begin{equation}
 \left(\frac{s_{180}}{a}\right)^2
  =\frac{4}{3}\left(\frac{m_1+m_2}{m_c}\right)[H(\theta_{min})-1].
 \label{eq:3.199}
\end{equation}

�����̌��ʂ�Janus ��Epimetheus�ɓ��Ă͂߂Ă݂�. �q����
�������ꂽ��, �������̍���$s_j=\Delta a_0=50$km , 
�p�x����$\theta_i=180�K$ �ł�����. ��(\ref{eq:3.197})
��$m_2/m_1=0.25$�Ƃ���, �����̒l���������, $s$��
$\theta$�Ɋւ���ω������邱�Ƃ��ł���. �e�q����
�������� 
$a_J=a+\Delta a_J$, $a_E=a+\Delta a_E$ �Ə�����, 
��(\ref{eq:3.184})��, �e�O���̌ʂ̒����̔䂪���ʔ�
�ł��邱�Ƃ��g����, ��]�n�ɂ�����$\Delta a_J$��$\Delta a_E$
�̕ω����������Ƃ��ł�����(�} 3.25). �����Ȕn���`�O����
Janus �ɑΉ����Ă���. �O�q�����悤��, ���O�p�`���t�_��
�ʒu��, �������łȂ��ꍇ�ɂ��g�����Ƃ��ł���.
����3�̖��̋O���ł͗��q�O���̕����ő�ɂȂ�̂�, �ۓ��V��
����̊p�x��$\pm 60�K$ �ƂȂ�_�ł�����(�} 3.18, 3.20). �����
����ʓI�ȏꍇ�ɂ�����, �q�����m�̊p�x��$\pm 60�K$ 
�ɂȂ�_�ŗ��q�O���̕����ő�ɂȂ�ƌ������Ƃ��킩��. 
\newpage
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig325.eps}
  \caption{Janus-Epimetehus �ɂ������]�n�ł� $\Delta a_J/\Delta_0$
           , $\Delta a_E/\Delta_0$�̕ω�. ������$\Delta_0=50$km
           �͉q����180�x����Ă��鎞��2�̋O���̔������̍��ł���.
           �j���͋O���̕����ő�ƂȂ鎞�̊p�x�������Ă���. ���Ȃ݂�
           �O���̕����ő�ƂȂ�̂�Janus��Epimetheus�̂Ȃ��p�x��
           $\pm 60$�x�̂Ƃ��ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.25}
\end{figure}
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.5\linewidth]{./fig/fig326.eps}
  \caption{Janus-Epimetheus �̋O����2�̉q���̕��ς̕��ω^��
           �ŉ�]����n���猩�����̋O���}. �O���̕��͋������Ă���.
           �O���̕��̔��, ���ʔ�Ɠ���$\sim 0.25$�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.26}
\end{figure}

\newpage

\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.65\linewidth]{./fig/fig327.eps}
  \caption{2�̉q���̐����ŏ��p�x�����ʂ̊֐��ŕ\�����}. 
           ���_��Janus-Epimetheus �n�ł̒l�ł���.}
\end{center}
\label{fig:3.27}
\end{figure}

�}3.26�ł�2�̉q���̕��ω^���̕��ω^���ŉ�]����n���猩���ꍇ��
�q���O���������Ă���. ���̐}�ł͔��a�̕ω����������Ă���. 
���ۂ�Janus ��Epimetheus �̋O���̕���10 km , 40 km �ł���. 
�܂�, ���ϔ�������150432 km�ł���. �}����킩��Ƃ���, 
�Е��̉q���������Е���ǂ��������Ƃ͌����ĂȂ�. 
���̑����, 4�N���̐ڋ߂Ō݂��̉^���ʂ̌�����������, �O��
�̓���ւ����N����. 

��L�̗��_���g����, Dermott \& Murray (1981b)��Janus ��Epimetheus
�̉^���̊ϑ�����ǂ̂悤�ɂ���, ���ʔ�⎿�ʍ��v�����肷��̂���
������. ����͎�(\ref{eq:3.199})���g���čs����. �} 3.27�ł�
2��guiding center�̐����ŏ��p�x���q���̎��ʍ��v�̊֐��Ƃ���
�\���Ă���. $s_{180}/a=3.32\times 10^{-4}$ �Ƃ���. 
����͂����̋ߎ��ł��邪, ���l�ϕ��ɂ�錋�ʂ�0.001�x�͈̔͂ł�
�������Ȃ����Ƃ��킩���Ă���. Nicholson et al.(1992)
�͒n�ォ��̊ϑ��Ńf�[�^���Ƃ�, �O���Ɋւ���V���ȉ���
������. Janus ��Epimetheus�݂͌���5.64�x�ȓ��ɐڋ߂�, �܂�, 
���ʂƂ��ē������ʂ��炻�ꂼ��̖��x��$0.65 \pm 0.08$g cm$^{-3}$
, $0.63 \pm 0.11$g cm$^{-3}$�ƌ��ς�����.Voyger��
����ē���ꂽ�摜���炱���͕X�łł��Ă���, �����Ȗ��x�������Ƃ���
�y���̏����ȉq����, �󌄂̂���X����ł��Ă���\����
�����Ă���.  

\newpage

\subsection{Hill's Equation}
���S���ʂ̎�����^�����鏬���ȗ��q�̉~����3�̖��ł�, ��v
�Ȑۓ��͐ۓ��V�̂ɐڋ߂����Ƃ��݂̂ŋN����(3.9��). �܂�
���q�̉^���̑啔����2�̖��̃P�v���[�^���Ɠ����ł���. 
����Ă��̐߂ł͍��܂ł̂悤��, �ۓ��V�̋ߖT�ȊO�ł̐ۓ���
�l�������^���������ł͂Ȃ�, �ۓ��V�̋ߖT�݂̂ňӖ����Ȃ��悤��
�^���������ɂ��čl���Ă݂�. 

���̂悤�ȕ�������, �l�X�ȋߎ���, �ۓ��V�̂���Ƃ���
���W�n���g�����Ƃŕ\�����邱�Ƃ��\�ƂȂ�. 
�����Ȏ��ʔ�$\mu_1\approx 1$�ł�,$x-y$���ʓ��ł̉^����������
��(\ref{eq:3.16})
\footnote{��(\ref{eq:3.16}): $ \ddot{x}-2n\dot{y}-n^2x =
 - [\mu_1 (x+\mu_2)/r_1^3+\mu_2(x-\mu_1)/r_2^3]$} 
, (\ref{eq:3.17})
\footnote{��(\ref{eq:3.17}): $ \ddot{y}+2n\dot{x}-n^2y =
 - [\mu_1/r_1^3 + \mu_2/r_2^3]y$}
����,
\begin{eqnarray}
 \ddot{x}-2\dot{y}-x&=&-\frac{x}{r^3_1}-\mu_2\frac{x-1}{r_2^3},
\label{eq:3.200}\\
 \ddot{y}+2\dot{x}-y&=&-\frac{y}{r^3_1}-\mu_2\frac{y}{r_2^3},
\label{eq:3.201}
\end{eqnarray}
�ƂȂ�. ������, x����$x\rightarrow x+1$��ϊ���, $\Delta =r_2$��
����. �����ł͐ۓ��V�̋ߖT(�܂�$L_1$, $L_2$�ߖT)
�ł̉^���ɂ��čl���Ă���̂�, $x$, $y$, $\Delta$��
$\mathcal{O}(\mu_2^{1/3}$)�̔����ʂƉ��肷�邱�Ƃ��ł���. 
$\mu_2$�̍����̍��𖳎����邱�Ƃ�, $r_1\approx (1+2x)^{1/2}$
�𓾂�. ����Ď�(\ref{eq:3.200}), (\ref{eq:3.201})��
\begin{eqnarray}
 \ddot{x}-2\dot{y}&=&\left(3-\frac{\mu_2}{\Delta^3}\right)x
=\frac{\partial U_H}{\partial x},
\label{eq:3.202}\\
 \ddot{y}-2\dot{x}&=&-\frac{\mu_2}{\Delta^3}y
=\frac{\partial U_H}{\partial y},
\label{eq:3.203}
\end{eqnarray}
where
\begin{equation}
 U_H=\frac{3}{2}x^2+\frac{\mu_2}{\Delta}, \ \ \ \ and\ \ \ \ 
 \Delta^2=x^2+y^2,
\label{eq:3.204}
\end{equation}
�Ə������Ƃ��ł���. Jacobi�萔��������������,
\begin{equation}
 C_H=3x^2+2\frac{\mu_2}{\Delta}-\dot{x}^2-\dot{y}^2,
\label{eq:3.205}
\end{equation}
�ƂȂ�. ���Ƃ��Ƃ�Jacobi �萔�͎�(\ref{eq:3.29})�ɂ�����
$z$�������̉^���𖳎���, $n=1$�Ƃ������Ƃňȉ��̂悤�ɂȂ�. 
\begin{equation}
 C_J=x^2+y^2+2\left(\frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}\right)
     -\dot{x}^2-\dot{y}^2,
\label{eq:3.206}
\end{equation}
��(\ref{eq:3.202}), (\ref{eq:3.203})��\textbf{Hill ������}
(Hill's euation)�ƌĂ΂�, Hill �̌��Ɋւ��錤���̍ۂɎg��ꂽ. 
��(\ref{eq:3.202})����, $3\Delta^3=\mu_2$�̎�, ���a�����ɓ���
�͂����������. ����͒����͂Əd�͑��ݍ�p��
���t�ƂȂ邱�Ƃ��Ӗ����Ă���. ���̂��Ƃ���, �ۓ��V�̂�
�����\textbf{Hill ��}
(Hill's sphere)���`���邱�Ƃ��ł���. 
\begin{equation}
 \Delta_H=\left(\frac{\mu_2}{3}\right)^{1/3}.
\label{eq:3.207}
\end{equation}
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig328.eps}
  \caption{$\mu_2=0.1$�̏ꍇ��$L_1$, $L_2$���t�_�ߖT�ł�
           �[�����x�Ȑ�. Hill�ߎ��ɂ����Ă�, ���t�_��
           �ۓ��V��$\mu_2$���瓙�����ɂ���.}
\end{center}
\label{fig:3.28}
\end{figure}

��(\ref{eq:3.202}), (\ref{eq:3.203})�ɂ�����
$\dot{x}=\dot{y}=\ddot{x}=\ddot{y}=0$ $(x \neq 0)$�Ƃ����,
$L_1$, $L_2$���t�_�̈ʒu��m�邱�Ƃ��ł���. ��(\ref{eq:3.202})
����$\Delta_{L_{1,2}}=(\mu_2/3)^{1/3}$, ��(\ref{eq:3.205})
����$C_H=3^{4/3}\mu_2^{2/3}$ �𓾂�. ����$L_1$, $L_2$���t�_��
��(\ref{eq:3.207})�Œ�`����Hill ���̋��E��ɂ���. ������,
\begin{equation}
 C_H=\zeta \mu_2^{2/3}
\label{eq:3.208}
\end{equation}
�Ə�����Ƃ����, 
$\zeta < 3^{4/3}$�̗̈�Ŕn���`�O�����\�ɂȂ�. $L_1$, $L_2$���t�_
�ߖT�ł̃[�����x�Ȑ���}3.28�Ɏ�����. 

��L�̒�`���g�����Ƃ�, �O�����~�ɋ߂��ꍇ�̔n���`�O����
�[�����x�Ȑ��̊֌W���l�@���邱�Ƃ��ł���. �~�O���ɂ����Ă�
$\dot{x}=\ddot{x}=\ddot{y}=0$ �ł���, $x$, $\dot{y}$��
�ȉ��̎��Ŋ֌W�Â�����萔�ƂȂ�.
\begin{equation}
 \dot{y}^2=3x^2 - \zeta \mu_2^{2/3}.
\label{eq:3.209}
\end{equation}
�����ł�, ��(\ref{eq:3.205}), (\ref{eq:3.208})���g��, �܂�,
$\Delta$�͑傫�����̂Ƃ��Ă���. ����, $x_{zv}$��n���`�O���ɑΉ�����
$x$�̒l�Ƃ���Ȃ�, $\dot{y}=0$�ƍl���邱�Ƃ�,
\begin{equation}
 x_{zv}^2=\frac{1}{3}\zeta \mu_2^{2/3},
\label{eq:3.210}
\end{equation}
�𓾂�.
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.55\linewidth]{./fig/fig329.eps}
  \caption{Hill ���������g�����ꍇ�̉~�O���ɋ߂����q�O��
           (����)�ƃ[�����x�Ȑ�(�j��)
           �̐}.}
\end{center}
\label{fig:3.29}
\end{figure}
������ $n^2a^3=1$ , �̂�$\dot{y}=-(3/2)x$ �ł��邱�Ƃ���,
\begin{equation}
 x^2=\frac{4}{3}\zeta \mu_2^{2/3},
\label{eq:3.211}
\end{equation}
�ƂȂ�, $x=2x_{zv}$ ���q�O���̕��̓[�����x�Ȑ��̕���2�{�ƂȂ�.
�����3.10�߂œ������ʂƓ������̂ł���. �} 3.29�ɑ�܂��ɐ}��
���Ă���. 

�����̌��ʂ͉~�O���ɋ߂����̂Ƃ����ꍇ�ɓ����邪, 
���q�O����guiding center�̑ȉ~�^���ŕ\�������ꍇ�ɂ�
�K�p���邱�Ƃ��ł���(Dermott \& Murray 1981a, b). 

�ߎ����瓾��ꂽ��L�̉^������������, Tisserand �̔��莮��
�g�����ƂŐۓ��V�̂ւ̐ڋߑO��̋O���v�f�̊֌W���������Ƃ�
�ł���. �ڋߑO�̋O���v�f��$a_1=1+\Delta a_1$, $e=\Delta e_1$ 
�Ƃ�, �ڋߌ�̋O���v�f��$a_2=1+\Delta a_2$, $e=\Delta e_2$
�Ƃ���. ������$\Delta a_1$, $\Delta a_2$, $\Delta e_1$, 
$\Delta e_2$�͔����ʂł�����̂Ƃ���. 3.4�߂��Tisserand ��
���莮\footnote{
$Tisserand �̔��莮 : \frac{1}{2a}+\sqrt{a(1-e^2)}\cos I=\frac{1}{2a'}+\sqrt{a'(1-e'^2)}\cos I'$}
��
\begin{equation}
 \frac{1}{1+\Delta a}+2(1+\Delta a)^{1/2}(1-\Delta e^2)^{1/2}
 \approx constant,
\label{eq:3.212}
\end{equation}
�ƂȂ�. �W�J�����
\begin{equation}
 \frac{3}{4}\Delta a^2 -\Delta e^2\approx constant,
\label{eq:3.213}
\end{equation}
or
\begin{equation}
 \frac{3}{4}\Delta a^2_1 -\Delta e^2_1 \approx  \frac{3}{4}\Delta a^2_2 -\Delta e^2_2 .
\label{eq:3.214}
\end{equation}
�ƂȂ�. �̂ɋO�����P�ʔ������ɑ΂��đΏ�(�܂�
$\Delta a_1\approx-\Delta a_2$)�ł���Ƃ�, 
$\Delta e_1\approx \Delta e_2$�ƂȂ�. 

Hill ���������l���邱�Ƃœ��l�̊֌W�𓱂����Ƃ��ł���. 
��(\ref{eq:3.202}), (\ref{eq:3.203})�ɂ�����$\Delta$
���傫���ƍl�����, 
\begin{eqnarray}
 \ddot{x}-2\dot{y}&=&3x,
\label{eq:3.215} \\
 \ddot{y}-2\dot{x}&=&0,
\label{eq:3.216}
\end{eqnarray}
�܂�, ��(\ref{eq:3.205})��(\ref{eq:3.208})����,
\begin{equation}
 \dot{x}^2+\dot{y}^2=3x^2 -\zeta \mu_2^{2/3},
\label{eq:3.217}
\end{equation}
�Ə������Ƃ��ł���. ������guiding center �ߎ����g����
���a�����ւ̗��q�̕ψʂ͎���$n=1$, �U���͎��]�~�^����
���S���ŕω���, $x=\Delta a +e\sin t$, $\dot{x}=e\cos t$, 
$\ddot{x}=-e\sin t$�Ə������Ƃ��ł���. ��(\ref{eq:3.215}), 
(\ref{eq:3.216})����$\ddot{y}=-2e\cos t$, 
\begin{equation}
 \dot{y}=-\frac{3}{2}\Delta a-2e\sin t,
\label{eq:3.218}
\end{equation}
�ƂȂ�. �㎮�E�ӑ�ꍀ��guiding center �̑��x�ł���, ��񍀂�
���q��guiding center����ł̑ȉ~�O���ɂ����鑬�x��\���Ă���. 
��(\ref{eq:3.217})�ł�$x$, $\dot{x}$, $\dot{y}$���g����,
\begin{equation}
 e^2 \cos^2 t+\left(-\frac{3}{2}\Delta a-2e\sin t\right)^2
=3(\Delta a+e\sin t)^2-\zeta \mu_2^{2/3},
\label{eq:3.219}
\end{equation}
�𓾂�. ��������
\begin{equation}
 \frac{3}{4}\Delta a^2-\Delta e^2=\zeta \mu_2^{2/3},
\label{eq:3.220}
\end{equation}
�ƂȂ�. �E�ӂ͒萔. ����͐�قǂ�Tisserand �̊֌W���Ɠ����ł���. 

���q�O����$y$���ɑ΂���(�O�����ȉ~�Ȃ�, guiding center�ɑ΂���)
�Ώ̐�����, �ۓ��V�̂���̋����̍ŏ��l$\Delta_{min}$�𓾂邱�Ƃ�
�ł���. �}3.29����, �ۓ��V�̂���̋����͗��q�O����$y$���Ɍ���
����_�ōŏ��ƂȂ�. ���q���~�O����
������$1+\Delta a_0 $�ŉ^�����Ă���Ƃ���. Hill �̌n�ɂ�����
���q��
�����ʒu��($x_0$, $y_0$)�Ƃ���, ��(\ref{eq:3.218})���g����
\begin{equation}
 \dot{y}_0=-\frac{3}{2}x_0=-\frac{3}{2}\Delta a_0
\label{eq:3.221}
\end{equation}
�̂Ɏ�(\ref{eq:3.205})����
\begin{equation}
 |\Delta a_0|=2(\zeta/3)^{1/2}\mu_2^{1/3}
\label{eq:3.222}
\end{equation}
���q�O���� $y$���ɑ΂��đΏ̂��Ƃ���Ɨ��q���ۓ��V�̂�
�Đڋ߂��鎞,
$x=0, \dot{y}=0, \dot{x}=\dot{x}_{min}, y=\Delta_{min}$
�ƂȂ�. $\dot{x}_{min}$�͍Őڋ߈ʒu�ł�$\dot{x}$�ł���. 
��(\ref{eq:3.205})���� 
\begin{equation}
 \dot{x}_{min}=2\frac{\mu_2}{\Delta_{min}}-\zeta \mu_2^{2/3}.
\label{eq:3.223}
\end{equation}
���ۂɂ�$\dot{x}^2_{min}\ll \dot{y}^2_0$(Dermott \& Murray 1981a)
�ł���̂�, 
\begin{equation}
 y_{min}\approx(2/\zeta)^{1/2}\mu_2^{1/3},
\label{eq:3.224}
\end{equation}
��������, $\Delta a$���g����
\begin{equation}
 y_{min}\approx\frac{8}{3}\Delta_0^2\mu_2
\label{eq:3.225}
\end{equation}
�ƕ\�����. 
%������guiding center�̋O����
%$y$���ƌ�������ۂɃ[�����x�Ȑ��ƐڐG���鎖����
%�g����.

Hill�������̂�����̋����[�������͌n��$\mu_2^{1/3}$��
�K�i���ł���Ƃ������Ƃł���. ��(\ref{eq:3.202}), (\ref{eq:3.203})��
$m_2^{1/3}$ $x\rightarrow x'(\mu_2/3)^{1/3}$
$y\rightarrow y'(\mu_2/3)^{1/3}$ $\Delta\rightarrow 
\Delta'(\mu_2/3)^{1/3}$ �Ƃ����ϊ��������, �ȉ��̕�������
����.
\begin{equation}
 \ddot{x}'-2\dot{y}'=3x'\left(1-\frac{1}{\Delta'^3}\right),
\label{eq:3.226}
\end{equation}
\begin{equation}
 \ddot{y}'+2\dot{x}'=-3\frac{y'}{\Delta'^3},
\label{eq:3.227}
\end{equation}
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{./fig/fig330.eps}
  \caption{�X�P�[�����O���ꂽHill���������������ꍇ�ɓ�����
           ���q�O��. �ۓ��V�̂͌��_��, $L_1$, $L_2$���t�_��
           ���ꂼ��$ (x', y')=(\pm 1,0)$�Ɉʒu���Ă���. �S�Ă�
           ���q��$y'=\pm 200$�̈ʒu����$\dot{x}'=0$�Ŏn�܂��Ă���. 
           ���͗��q���ڋ߂��Ă�������������Ă���.}
\end{center}
\label{fig:3.30}
\end{figure}

�����̕������̓p�����[�^�[���܂�ł��Ȃ�. 
����ė��q�O�����K�i������Ă��邱��
���킩��. ���̋K�i�����ꂽ�n�ł�, $L_1$, $L_2$���t�_
��$\mu_2$����P�ʒ������������ꂽ�ʒu�ɑ��݂���. �} 3.30 
�ł͋K�i�����ꂽ���������狁�߂����q�O����}�����Ă���. 
���̐}�ɂ�����, �S�Ă̋O���͐������������ɏ\���傫��$y'$��
�ʒu����n�܂��Ă���. 
$y'$���ɋ߂��ʒu($\mid x\prime \mid \ll 1.7$)
����n�܂����O���͑S��''����''����Ă���, �n���`�O�����^������. 
������, ������$|x'|$���傫���Ȃ�ɂ�, �傫�ȗ��S����^����
�O���𗐂��̈悪�o�Ă���. ��菉����$|x'|$�傫���O���ɂȂ��, 
���q�͐ۓ��̉e�����󂯂��ɉ~�O�����^������. 

\newpage
\subsection{The Effects of Drag}
�V�����̎���ɋ���, �`�̂͂�����Ƃ��������O�������������Ƃɂ��, 
�l�X�ȗ͊w�I��肪��N�����悤�ɂȂ���. �����O��
�������ƂɊ֘A�������̂ЂƂ�Poynting-robertson(PR) ����
(���z�n���̔������q�����˂ɂ���ė͂��󂯂�)�ɂ��, 
�����O�͘f���Ɍ������ė�����̌`���Ƃ�Ȃ���΂Ȃ�Ȃ�
�Ƃ������̂�����. PR��R�͗��q��, �z���������z���˂�
�s�ψ�ɍĕ��˂��邱�Ƃň����N�������. ���q�ɂ͑傫���Ɉˑ�����
�O���̌�������, ���̗͂�, ���q�̑傫�������˂�����̔g���Ɠ���
�ʂ̎��ɍł������e�����y�ڂ�($\sim 10^{-6}$m). ���˂𒆐S���ʂ���
 �󂯂�ꍇ��PR ��R�͂�, �ȉ��̌`�����.
\begin{equation}
 \textbf{F}=-\frac{\beta \mathcal{G}m_c}{a^2 r^2}
    \left(\dot{x}-y+\frac{x}{r^2}(x\dot{x}+y\dot{y}),
          \dot{y}+x+\frac{y}{r^2}(x\dot{x}+y\dot{y}) \right)
\label{eq:3.228}
\end{equation}
$\beta$ �͕��˂ɂ�鈳�͂̏d�͂ɑ΂����, $m_c$�͒��S���̎���, 
$a$�͋O��������, �ł���. $\beta$ �͕��ˌ��̌��ʂƕ��˂̈��͂�
�󂯂�f�ʐςɈˑ�����. ��(\ref{eq:3.228}) ��
$\textbf{r}\cdot \dot{\textbf{r}}$ ���܂ފe���͓��ˌ��̃h�b�v���[
���ʂ�\�����Ă���, ��2���ڂ�PR��R�ł���(Schuerman 1980). 
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.65\linewidth]{./fig/fig331.eps}
  \caption{��]�n�ɂ����Ă��n���`�O������闱�q�̋O���T���}. ������
          ��R�͂����݂���ꍇ, �j���͒�R�͂������ꍇ�̋O��. 
          ���q�͗��S��$e \approx 0$�Ɖ��肵, �ۓ��V�̂�
          $r=1, \theta = 0,360$�x�ɑ��݂��Ă���Ƃ���.  }
\end{center}
\label{fig:3.31}
\end{figure}

Dermott \& Gold (1977) �͓V�����̋��������O��, $\mu_2 <10^{-10}$
�̑傫���̏����ȉq���ɑ΂��Ĕn���`�O�����^�����邱�Ƃ�, �����O�̌`��
�ێ����Ă���Ƃ��������Ă���. �����Dermott et al.(1980) ��
���̗��_��ؐ��Ɠy���̋��������O�ɓK�p����. PR ��R�̓����O���q��
�f���Ɍ������Ă点���Ɉ����L�΂�(Burns et al. 1979). 
������, �n���`�O�����f���ɂ�����, �n���`�O��������̋O��������, 
1���̋ߎ��ɂ����Ă͂�����������ƃL�����Z������̂Ń����O�̌`��
�ێ������. (�} 3.31, 3.9��)

$L_4$, $L_5$���t�_�̓|�e���V�������ő�̓_�ł���, ��R�͂����݂���
�ꍇ��, �ǂ̂悤�Ȓ�R�͂ɂ����Ă�, �����̓_�ł̓G�l���M�[��
������, ���q�͕��t�_���痣���悤�ɉ^������.
���̂��Ƃ͑����̕����ŏq�ׂ��Ă���. ��ŏq�ׂ�悤��
���ۂɉ��炩�̒�R�͂����݂���ꍇ, ���O�p�`���t�_�̈��萫��
�P���ȃG�l���M�[�̋c�_��������ł͓������Ƃ͂ł��Ȃ�. 

�����ł͂ǂ�ȗ��q���d�͐ۓ��ȊO�ɂ��l�X�ȊO�͂̉e�����󂯂Ă���. 
�Ⴆ��, ���ˈ��̌��ʂɂ��Ă͑����̌����҂ɂ���Č�������Ă���. 
�ȉ��ł͗��q�ɓ�����R�̗͂͊w�I���ʂɂ���, 
2�̃A�v���[�`�ɂ��l�@����. (i)
�[�����x�Ȑ��̐U�镑���ɂ��Ă̍l�@, 
(ii) ���O�����W�����t�_�̈ʒu�ƈ��萫�ɂ��Ă̍l�@�ł���. 

�܂�, �ȉ��̍l�@�ł͌n���̕��̂�$\mu_1$, $\mu_2$����̏d��
�ɉ���, �C�ӂ�
�O��$\textbf{F}=(F_x, F_y)$ ���󂯂�. $\textbf{F}=(F_x, F_y)$ 
�͗��q�̈ʒu�Ƒ��x�̊֐��ł���, $k$������ȉ��炩�̕����ʂƂ���
$|\textbf{F}|=\mathcal{O}(k)$ �Ƃ���. 

\subsubsection{Analysis of the Jacobi Constant}
3.2�߂��, ��]�n�ɂ�����^���������͈ȉ��̂悤�ɂȂ�. 
\begin{eqnarray}
 \ddot{x}-2\dot{y}&=&\frac{\partial U}{\partial x}+F_x,
 \label{eq:3.229}\\
 \ddot{y}+2\dot{x}&=&\frac{\partial U}{\partial y}+F_y.
 \label{eq:3.230}
\end{eqnarray}
��(\ref{eq:3.229})��$\dot{x}$, ��(\ref{eq:3.230})��$\dot{y}$��
�����ĕӁX�������킹���, 
\begin{equation}
 \dot{x}\ddot{x}+\dot{y}\ddot{y}
 -\left(\dot{x}\frac{\partial U}{\partial x}+
  \dot{y}\frac{\partial U}{\partial y}\right)
  =\dot{x}F_x+\dot{y}F_y.
\label{eq:3.231}
\end{equation}
�𓾂�. �ʏ�, Jacobi�萔�� $C_J=2U-\dot{x}^2-\dot{y}^2$ 
�̌`�ŏ�����̂�, 
\begin{equation}
 \frac{dC_J}{dt}=-2(\dot{x}F_x+\dot{y}F_y)
\label{eq:3.232}
\end{equation}
�ƂȂ�. 
$\dot{x}F_x+\dot{y}F_y$ �͒P�ʎ��ԓ������$\textbf{F}$��
�s���d���ł���. �����Œ�R�͂ɂ���
 $k < 0$ �ł���Ɖ��肷���, $\dot{C_J}$�̕�����
$\dot{x}F_x+\dot{y}F_y$ �̕����Ƌt�ɂȂ�. 3.3�߂̃[�����x�Ȑ�
�ɂ��Ă̍l�@����, $C_J$ �̒l����������Ɖ^���̔r���̈悪
�g����, ���q�^����$L_4$, $L_5$���痣��Ă���. 

��]�n�ɂ����Ē�R�͂����q�̑��x�ɔ�Ⴗ��Ƃ����, 
$\textbf{F}=k\textbf{v}=k(\dot{x}, \dot{y})$ �ł���, 
\begin{equation}
\dot{x}F_x+\dot{y}F_y=k(\dot{x}^2+\dot{y}^2)<0.
\label{eq:3.233}
\end{equation}
�̂ɂ��̒�R��(\textbf{nebular drag}�Ƃ��Ă΂��)��, 
���q�̋O���ɂ�炸, ���q��$L_4$, $L_5$�_���痣�������ɓ���
(Jeffreys 1929). 

���˂ɂ��PR��R�̏ꍇ��, �O�͂�
\begin{equation}
 \textbf{F}=k(\dot{x}-y, \dot{y}+x)/r^2,
\label{eq:3.234}
\end{equation}
�ł���, 
\begin{equation}
\dot{x}F_x+\dot{y}F_y=k(\dot{x}^2+\dot{y}^2)-k(\dot{x}y-\dot{y}x).
\label{eq:3.235}
\end{equation}
�ƂȂ�. ������, ���̕\���ł͕����͊ȒP�Ɍ��肷�邱�Ƃ͂ł��Ȃ�. 
���̂��߂ɂ͗��q�̋O����m��˂΂Ȃ炸, ����͔C�ӂ̏��������ɂ�����
���߂邱�Ƃ͂ł��Ȃ�����ł���. ���̗Ⴉ����킩��Ƃ���Jacobi�萔��
��͂����ł͈��萫�����߂��Ȃ���R�͂�����. 

\subsubsection{Linear Stability of the $L_4$ and $L_5$ Points}
��������͕��t�_�t�߂ł̈��萫���c�_���邽��, ���`���萫��͂�
�s��. $L_4$, $L_5$���t�_�ł�, ��R���Ȃ����͈���ł��邽��, 
���̓_�ɂ��Ẳ�͂��s��. Murray (1994b) ��5�̃��O�����W��
���t�_�ł̂�����R�萔 $k$ �̊֐��Ƃ��ĕ\��, $L_4$, $L_5$���t�_
�t�߂ł̐ۓ��^���Ɋւ���ŗL���������ȉ��̂悤�ɕ\����邱��
��������. 
\begin{equation}
 \lambda^4 + a_3\lambda^3+(1+a_2)\lambda^2+
 \left(\frac{27}{4}\mu_2 +a_0\right)=0.
\label{eq:3.236}
\end{equation}
�萔$a_i(i=0,1,2,3)$�͑S��$\mathcal{O}(k)$�ł���, 
�ȉ��ŗ^������. 
\begin{eqnarray}
 a_0&=&\frac{9}{4}k_{x,x}+\frac{3}{4}k_{y,y}
     \mp \frac{3\sqrt{3}}{4}(k_{x,y}+k_{y,x}) \label{eq:3.237}\\
 a_1&=&\frac{9}{4}k_{x,\dot{x}}+\frac{3}{4}k_{y,\dot{y}}
     +2(k_{x,y}-k_{y,x}) \mp \frac{3\sqrt{3}}{4}(k_{x,\dot{y}}+k_{y,\dot{x}}) \label{eq:3.238} \\
 a_2&=&-k_{x,x}-k_{y,y}+(k_{x,\dot{y}}-k_{y,\dot{x}}) \label{eq:3.239} \\
 a_3&=&-(k_{x,\dot{x}}-k_{y,\dot{y}}), \label{eq:3.240}
\end{eqnarray}
��(\ref{eq:3.237}), (\ref{eq:3.238})�̃v���X�}�C�i�X�̕�����
���ꂼ��$L_4$, $L_5$���t�_�ɑΉ�����. �܂�, 
$k_{x,x}, k_{y,x} \cdots$ �̕\���͈ȉ��Œ�`�����.
\begin{equation}
 \begin{aligned}
  k_{x,x}=\left[\frac{\partial F_x}{\partial x}\right]_0, \ \ \ &
  k_{y,x}=\left[\frac{\partial F_y}{\partial x}\right]_0, \ \ \ &
  k_{x,\dot{x}}=\left[\frac{\partial F_x}{\partial \dot{x}}\right]_0, \ \ \ &
  k_{y,\dot{x}}=\left[\frac{\partial F_y}{\partial \dot{x}}\right]_0, \\
  k_{x,y}=\left[\frac{\partial F_x}{\partial y}\right]_0, \ \ \ &
  k_{y,y}=\left[\frac{\partial F_y}{\partial y}\right]_0, \ \ \ &
  k_{x,\dot{y}}=\left[\frac{\partial F_x}{\partial \dot{y}}\right]_0, \ \ \ &
  k_{y,\dot{y}}=\left[\frac{\partial F_y}{\partial \dot{y}}\right]_0 
 \end{aligned}
\label{eq:3.241}
\end{equation}
�Y������$0$�͕Δ�����, ��R�͂��l���Ȃ��ꍇ�̕��t�_�̈ʒu�ł�
�l���Ƃ邱�Ƃ��Ӗ�����. �����, �����S�Ă̗ʂ�
$\mathcal{O}(k)$�ł���, 
����������x�̑傫���ł��邱��, $x_0$, $y_0$�ɔ�ׂď�������
���肵�Ă��邱�Ƃ��琬�藧��. 

��(\ref{eq:3.236}), (\ref{eq:3.237})����, 
$a_i$���[������$\mathcal{O}(\mu_2)$ �܂ł̍��ɂ����Ă�4����
�������ł���̂�, �����͒�R�͂��Ȃ��ꍇ�̎��Ɠ����ł���
(��(\ref{eq:3.141})\footnote
{��(\ref{eq:3.141}) : $\lambda^4+\lambda^2+27\mu_2/4 (1-\mu_2)=0$}). 
��R���Ȃ��ꍇ�̌ŗL�������̉���, ��(\ref{eq:3.145})
\footnote{
��(\ref{eq:3.145}) : 
$\mu_2 \leq \frac{27-\sqrt{621}}{54} \approx 0.0385$}
�𖞂�����, �������ƂȂ�. ��R������ꍇ�̈��������
�����ƕ��G�ɂȂ�, �}3.32 �Ő}�����ꂽ4�̉\����������. 
\begin{figure}[!t]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{./fig/fig332.eps}
  \caption{$L_4$, $L_5$���t�_�t�߂ł̐ۓ��O���̖͎��}. 
           �����͒�R���Ȃ��ꍇ�̗��q�O��, �j����
           ��R������Ƃ��̗����O����\��. (a)�ŗL�l�̑S�Ă�
           ���������ł���(�Q�߉~����). (b)guiding center�^����
           �ւ���ŗL�l����, ���]�~�^���Ɋւ���ŗL�l����
           (���`�s����).(c)guiding center�^����
           �ւ���ŗL�l����, ���]�~�^���Ɋւ���ŗL�l����
           (���`�s����).(d)�ŗL�l�̑S�Ă�
           ���������ł���(�s����)}
\end{center}
\label{fig:3.32}
\end{figure}
\begin{enumerate}
 \item �ŗL�l�̑S�Ă̎��������ł���ꍇ, �Q�߈���ƂȂ�.
 \item guiding center�^���Ɋւ���ŗL�l�����ł���, ���]�~�^����
       �ւ���ŗL�l�����ł��鎞, ���`�s����.
 \item guiding center�^���Ɋւ���ŗL�l�����ł���, ���]�~�^����
       �ւ���ŗL�l�����ł��鎞, ���`�s����.
 \item �S�Ă̌ŗL�l�̎��������ł��鎞, ���`�s����.
\end{enumerate}
Murray (1994b)��, $\mu_2 \rightarrow 0$�̋Ɍ��ł�
�e$\lambda$�̎��������ƂȂ�, �܂�Q�߈���������炷������
\begin{equation}
 0<a_1<a_3,
\label{eq:3.242}
\end{equation}
�ł���. $a_1$, $a_3$�͂��ꂼ��,
��(\ref{eq:3.238}), (\ref{eq:3.240})�Œ�`����Ă���. 
���Ȃ݂�, �����̋ߎ��ɂ����Ă�, ���萫��$a_0$, $a_2$�̒l��
�ˑ�����, 
�̂�$L_4$, $L_5$�ł̈��萫��$k_{x,x}$, $k_{y,y}$�̒l�Ɉˑ����Ȃ�. 
������$L_4$, $L_5$�ł̐��`���萫�Ƃ������_����2�̒�R�͂ɂ���
�l�@���邱�Ƃ��ł���. 

$\textbf{F}=k(\dot{x}, \dot{y})$ �ł���Ƃ����, ��(\ref{eq:3.241})
�ɂ����ă[���łȂ��l��,
\begin{equation}
 k_{x, \dot{x}}=k,\ \ \ \ \ k_{y, \dot{y}}=k,
\label{eq:3.243}
\end{equation}
�ł���, �̂�
\begin{equation}
 a_1=3k,\ \ \ \ \ a_3=-2k,
\label{eq:3.244}
\end{equation}
�ƂȂ�. $k<0$���$a_1<0$ �ł���, ��(\ref{eq:3.242})�𖞂����Ȃ�. 
����Ă��̏ꍇ�O�p�`���t�_��, Jacobi�萔�Ɋւ���l�@�Ɠ��l��, 
���̌`�̒�R�͂������ꍇ�͕s����ƂȂ�. 

PR��R�̏ꍇ, $\textbf{F}=k(\dot{x}-y, \dot{y}+x)/r^2$ �ł���, 
��(\ref{eq:3.241})�Ń[���łȂ��l�����萔��
\begin{equation}
 k_{x, \dot{x}}=k_{y,x}=k_{y, \dot{y}}=k,\ \ \ \ \ k_{x,y}=-k
\label{eq:3.245}
\end{equation}
�ł���, �̂�
\begin{equation}
 a_1=-5k,\ \ \ \ \ a_3=-2k,
\label{eq:3.246}
\end{equation}
�ł���. �����PR��R���ł͐��`�s����ł��邱�Ƃ��킩��. 

�����������[�����Ƃ�$\textbf{F}=k(\dot{x}-y, \dot{y}+x)$ 
�̌`�̒�R�͂�z�肷���, ��(\ref{eq:3.241})�ɂ�����
�[���łȂ��萔��,
\begin{equation}
 k_{x, \dot{x}}=k_{y,x}=k_{y, \dot{y}}=k,\ \ \ \ \ k_{x,y}=-k,
\label{eq:3.247}
\end{equation}
�ƂȂ�, 
\begin{equation}
 a_1=-k,\ \ \ \ \ a_3=-2k.
\label{eq:3.248}
\end{equation}
�ł���̂Ŏ�(\ref{eq:3.242})����������, �O�p�`���t�_�͒�R�͂̒��ł�
����ƂȂ�. ���̂��Ƃ�, ��ɏ����ȐU�������肵�Ă���̂�, 
���t�_����ł̔n���`�O����Tadpole�O���̂悤�ȐU���̑傫�ȋO����
���萫�ɂ��ĉ��p���邱�Ƃ͂ł��Ȃ�.

\subsubsection{Inertial Drag Forces}
Murray (1994b) �͈�ʓI�ȒP�ʎ��ʂ�����̒�R�͂Ƃ���
�ȉ��̌`���Ă���.
\begin{equation}
 \textbf{F}_i=k\textbf{V} g(x, y, \dot{x}, \dot{y}),
\label{eq:3.249}
\end{equation}
������, $k<0$�ł���, $\textbf{V}=(\dot{x}-y, \dot{y}+x)$ ��
�����n�ɂ����闱�q�̑��x�ł���. $g(x, y, \dot{x}, \dot{y})$ 
�͗��q�̈ʒu�Ƒ��x�Ɋւ���X�J���[�֐��ł���. Murray (1994b)
���̗͂�\textbf{inertial drag}�ƌĂ�. ��R�萔 $k$ ��
�^��������������������
\begin{equation}
 r^2r^3_1r^3_2+\mu_2 r^3_1(\mu_1x-r^2)-\mu_1 r^3_2(\mu_2x+r^2)=0,
\label{eq:3.250}
\end{equation}
�ƂȂ�. �����5�̕��t�_�����̋O���ɉ����Ĉړ����邱�Ƃ�
�\���Ă���. �}3.33a �ł�, �O���� $\mu_2=0.2$ �̏ꍇ��������. 
\begin{figure}[!b]
\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{./fig/fig333.eps}
  \caption{(a)��(\ref{eq:3.249})�ɂ�����$\mu_2=0.2$�Ƃ�������
          ���O�����W���_���ړ�����O���̐}. (b)$\bar{k}/\mu_2$
          ($\bar{k}$�͖{�����Œ�`���ꂽ, �ό`���ꂽ��R�萔)
          ��$L_3$, $L_4$, $L_5$�_�̈ړ��p�x
          $\theta$(30<$\theta$<330)�Ƃ̊֌W. �����ł͎��ʔ��
           �����ł���Ɖ��肵�Ă���. �e�}�̎�����$k<0$�̏ꍇ,
          �j����$k>0$�ł���ꍇ�������Ă���.}
\end{center}
\label{fig:3.33}
\end{figure}

$\mu_2 \rightarrow 0$ �̋Ɍ��ɂ�����, Murray ��$L_3$, $L_4$, $L_5$
���t�_�͒P�ʉ~�ɉ����Ĉړ���, $L_1$, $L_2$ ���t�_��
�ۓ��V�̕t�߂̉~�ɉ����Ĉړ����邱�Ƃ�������. 
$g^*=g(x, y, 0, 0)=g^*(r)$ 
(���a�݂̂̊֐�)�ł���ꍇ,  ������$\mu_2$�ɑ΂���$L_4$, $L_5$��
�ʒu�̊p�x�͈ȉ��̎��ŕ\�����. 
\begin{equation}
 \frac{\bar{k}}{\mu_2}=\sin \theta 
  \left(\frac{1}{(2-2\cos \theta)^{3/2}}-1\right).
\label{eq:3.251}
\end{equation}
������, $\bar{k}=kg^*(1)$ �ł���. ���̊֐���}3.33b�ɂ�
�}������. ���̊֐���$\theta=108.4$, $\theta=251.6$�x�̎�, 
���ꂼ��$\bar{k}/\mu_2=-0.7265$, $\bar{k}/\mu_2=+0.7265$ �̋ɒl��
�Ƃ�. �̂�$L_3$, $L_4$���t�_��, ���ꂼ��180�x, 60�x�̈ʒu����
$\bar{k}/\mu_2=-0.7265$�ƂȂ�$\theta=108.4$�̈ʒu�Ɉړ����邱�Ƃ�
�ł���. ���̂��Ƃ�$g_r$�̌`�ɂ��Ȃ�. �����̌��ʂ���, 
$g^*$��$r$�̊֐��ł���悤�ȑS�Ă̌n�ɂ����Ă�, $L_4$������
���Ȃ��Ȃ��Ă�$L_5$�͐����c�邱�Ƃ��킩��. 

inertial drag���ňړ�����$L_4$, $L_5$���t�_�̈��萫��
3.14.2�߂ł̂����ōl�@���邱�Ƃ��ł���. �Ⴆ��, Murray (1994b)
��inertial drag ���ȉ��̌`�Ƃ�����.
\begin{equation}
 \textbf{F}_i=k\textbf{V} V^i r^i,
\label{eq:3.252}
\end{equation}
$i$, $j$ �͎���. Murray ��, $k<0$���ȉ��̎���
���������ꍇ�́C���O�p�`���t����
��R�͂ɑ΂��đQ�߈��肾�낤�Ƃ������Ƃ�������.
\begin{equation}
 0<1-i+2j<2+i
\label{eq:3.253}
\end{equation}
������, $i=0$, $j=n$�ł���Ƃ����, ���̒�R�͂�
$-1/2<n<1/2$������������$L_4$, $L_5$���t�_�ł̈��萫��
�����炷. ����͐��O�p�`���t�_�̈��萫���c�_����ۂ�
��R�̌`�ɂ���ĕ����čl����K�v�����邱�Ƃ�����. Murray (1994b)��
�܂�, ��R�͂��傫���ꍇ��, $L_4$, $L_5$���t�_������
�s����ƂȂ�\����������. ���̂��Ƃ���g�������f���Q�̔�Ώ̐�
������ł���. 
\end{document}
















